为您找到与正弦定理余弦定理及推论相关的共5个结果:
余弦定理,是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定,是勾股定理在一般三角形情形下的推广。下面是读文网小编收集整理的高二数学《余弦定理》训练题目及其参考答案以供大家学习。
1.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是()
A.8
B.217
C.62
D.219
解析:选D.根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,c=219.
2.在△ABC中,已知a=2,b=3,C=120°,则sin A的值为()
A.5719 B.217
C.338 D.-5719
解析:选A.c2=a2+b2-2abcos C
=22+32-2×2×3×cos 120°=19.
∴c=19.
由asin A=csin C得sin A=5719.
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为__________.
解析:设底边边长为a,则由题意知等腰三角形的腰长为2a,故顶角的余弦值为4a2+4a2-a22•2a•2a=78.
答案:78
4.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
解:法一:根据余弦定理得
b2=a2+c2-2accos B.
∵B=60°,2b=a+c,
∴(a+c2)2=a2+c2-2accos 60°,
整理得(a-c)2=0,∴a=c.
∴△ABC是正三角形.
法二:根据正弦定理,
2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.
又∵B=60°,∴A+C=120°,
∴C=120°-A,
∴2sin 60°=sin A+sin(120°-A),
整理得sin(A+30°)=1,
∴A=60°,C=60°.
∴△ABC是正三角形.
课时训练
一、选择题
1.在△ABC中,符合余弦定理的是()
A.c2=a2+b2-2abcos C
B.c2=a2-b2-2bccos A
C.b2=a2-c2-2bccos A
D.cos C=a2+b2+c22ab
解析:选A.注意余弦定理形式,特别是正负号问题.
2.(2011年合肥检测)在△ABC中,若a=10,b=24,c=26,则最大角的余弦值是()
A.1213 B.513
C.0 D.23
解析:选C.∵c>b>a,∴c所对的角C为最大角,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.
3.已知△ABC的三边分别为2,3,4,则此三角形是()
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
解析:选B.∵42=16>22+32=13,∴边长为4的边所对的角是钝角,∴△ABC是钝角三角形.
4.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为()
A.π3 B.π6
C.2π3 D.π3或2π3
解析:选C.由已知得b2+c2-a2=-bc,
∴cos A=b2+c2-a22bc=-12,
又∵0
5.在△ABC中,下列关系式
①asin B=bsin A
②a=bcos C+ccos B
③a2+b2-c2=2abcos C
④b=csin A+asin C
一定成立的有()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C,则不一定成立.
6.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B等于()
A.14 B.34
C.24 D.23
解析:选B.∵b2=ac,c=2a,
∴b2=2a2,
∴cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a•2a
=34.
二、填空题
7.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则AC=________.
解析:由余弦定理,
得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,
即49=25+AC2-2×5×AC×(-12),
AC2+5AC-24=0.
∴AC=3或AC=-8(舍去).
答案:3
8.已知三角形的两边分别为4和5,它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是________.
解析:解方程可得该夹角的余弦值为12,由余弦定理得:42+52-2×4×5×12=21,∴第三边长是21.
答案:21
9.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则B的大小是________.
解析:由正弦定理,
得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.
不妨设a=5k,b=7k,c=8k,
则cos B=5k2+8k2-7k22×5k×8k=12,
∴B=π3.
答案:π3
三、解答题
10.已知在△ABC中,cos A=35,a=4,b=3,求角C.
解:A为b,c的夹角,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
∴16=9+c2-6×35c,
整理得5c2-18c-35=0.
解得c=5或c=-75(舍).
由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-252×4×3=0,
∵0°
11.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B,求C的大小.
解:由题意可知,
(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
于是有a2+2ab+b2-c2=3ab,
即a2+b2-c22ab=12,
所以cos C=12,所以C=60°.
12.在△ABC中,b=asin C,c=acos B,试判断△ABC的形状.
解:由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac,代入c=acos B,
得c=a•a2+c2-b22ac,∴c2+b2=a2,
∴△ABC是以A为直角的直角三角形.
又∵b=asin C,∴b=a•ca,∴b=c,
∴△ABC也是等腰三角形.
综上所述,△ABC是等腰直角三角形.
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关于正弦定理与余弦定理的多种证明方法
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。以下是小编为大家收集的关于正弦定理与余弦定理的证明方法的相关内容,供大家参考!
数学正弦定理公式:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式:cos A=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决三角形的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式
1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推论公式
1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
三、正弦定理的运用:
1、已知三角形的两角与一边,解三角形。
2、已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形。
3、运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。
四、余弦定理的运用:
1、当已知三角形的两边及其夹角,可由余弦定理得出已知角的对边。
2、当已知三角形的三边,可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3、当已知三角形的三边,可以由余弦定理得到三角形的面积。
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正弦定理的公式是什么(什么是正弦定理)
正弦定理:设三角形的三边为a b c,他们的对角分别为A B C,外接圆半径为r,则称关系式a/sinA=b/sinB=c/sinC为正弦定理。
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理,是勾股定理在一般三角形情形下的推广,勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
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正弦定理及余弦定理的公式大全
正弦定理可以用它们来求解三角形的边长或角的大小,或者判断一个三角形是否可能存在等。余弦定理则描述了三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦值的积的两倍。
正弦定理适用于任何三角形,包括直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。在三角形中,正弦定理可以表示为:a/sinA = b/sinB = c/sinC,其中a、b、c是三角形的三边长度,A、B、C是对应的三个角的角度。
在直角三角形中,有一个角是90度,另外两个角是任意的。在这种情况下,正弦定理可以简化为:a/sinA = b/sinB = c/sin90度。
因此,正弦定理适用于任何三角形,包括直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
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正弦定理和余弦定理是什么
正弦定理可以用它们来求解三角形的边长或角的大小,或者判断一个三角形是否可能存在等。余弦定理则描述了三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦值的积的两倍。
平面向量证法:
∵如图,有a+b=c(平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
(以上粗体字符表示向量)
又∵Cos(π-θ)=-CosC
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)
再拆开,得c^2=a^2+b^2-2__a__b__CosC
同理可证其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
平面几何证法:
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB__c,AD=sinB__c,DC=BC-BD=a-cosB__c
根据勾股定理可得:
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB__c)^2+(a-cosB__c)^2
b^2=sinB?·c?+a^2+cosB?·c^2-2ac__cosB
b^2=(sinB^2+cosB^2)__c^2-2ac__cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac__cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
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