为您找到与导数求导证明相关的共20个结果:
在高中阶段,有一个公式一直让我产生兴趣,就是
这个公式是学习数学归纳法的时候,课后的一个习题结论,而且也是老教材的封面的内容,可见该公式是多么的重要,不然怎么会上了封面呢。的确在实际的解题中,该公式是很有用的:直接用这个公式,可以使一些过程变得很简单。但老师讲到这的时候,叫我们只要记住结论就可以了,虽然可以这样,但它的证明方法却一直让我产生兴趣。在学习的过程中,我发现了6种证明方法:
据说当时很多人看到这题目就傻眼了,如果平时能象证明上述公式那样多用偏僻的知识思考问题,那遇到这种高考题的时候,也更从容了。
方法三是数学中常用的方法,其实数学中很多结论都是在“尝试”下生成的,关键是观察能力要强,我认为这种方法对于新课改具有重要意义,这样可以培养学生发现知识的能力。
方法四是在学习“数列”时常用的方法,一定要活学活用这种方法。
方法五显得有些不自然,似乎有些深奥,但如果多用这种语言来解题,思维能力肯定可以提高,以后在学习微积分的级数的时候,可能会觉得轻松点。
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导数是微积分中的重要基础概念,高中数学常用的导数公式有哪些呢?为此读文网小编为大家推荐了一些高中数学常用导数公式,欢迎大家参阅。
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'
证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果。
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海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。下面是读文网小编为您整理的海伦公式的证明方法,希望对您有所帮助!
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明⑷
通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)
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导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df/dx(x0)。
导数的定义:f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了)
用定义求导数公式
(1)f(x)=x^n
证法一:(n为自然数)
f'(x)
=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx
=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx
=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)
=nx^(n-1)
证法二:(n为任意实数)
f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)/f(x)=n/x
f'(x)=n/x*f(x)
f'(x)=n/x*x^n
f'(x)=nx^(n-1)
(2)f(x)=sinx
f'(x)
=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx
=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=lim cosxsinΔx/Δx
=cosx
(3)f(x)=cosx
f'(x)
=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx
=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx
=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx
=lim -sinxsinΔx/Δx
=-sinx
(4)f(x)=a^x
证法一:
f'(x)
=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx
=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx
(设a^Δx-1=m,则Δx=loga^(m+1))
=lim a^x*m/loga^(m+1)
=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]
=lim a^x*lna*m/ln(m+1)
=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]
=lim a^x*lna/lne
=a^x*lna
证法二:
f(x)=a^x
lnf(x)=xlna
[lnf(x)] '=[xlna] '
f' (x)/f(x)=lna
f' (x)=f(x)lna
f' (x)=a^xlna
若a=e,原函数f(x)=e^x
则f'(x)=e^x*lne=e^x
(5)f(x)=loga^x
f'(x)
=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx
=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx
=lim loga^(1+Δx/x)/Δx
=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)
=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)
=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)
=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)
=lim lne/(x*lna)
=1/(x*lna)
若a=e,原函数f(x)=loge^x=lnx
则f'(x)=1/(x*lne)=1/x
(6)f(x)=tanx
f'(x)
=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx
=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx
=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))
=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
(7)f(x)=cotx
f'(x)
=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx
=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx
=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))
=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
(8)f(x)=secx
#p#副标题#e#f'(x)
=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx
=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx
=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)
=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))
=sinx/(cosx)^2=tanx*secx
(9)f(x)=cscx
f'(x)
=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx
=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx
=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))
=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx
(10)f(x)=x^x
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)/f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f'(x)=(lnx+1)*x^x
(12)h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(13)h(x)=f(x)/g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx
=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))
=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x
(14)h(x)=f(g(x))
h'(x)
=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx
=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx
(另g(x)=u,g(x+Δx)-g(x)=Δu)
=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx
=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)
=lim f'(u)*Δu/Δx
=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)
(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1,因为函数与反函数关于y=x对称,所以导数也关于y=x对称,所以导数的乘积为1)
(15)y=f(x)=arcsinx
则siny=x
(siny)'=cosy
所以
(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy
=1/√1-(siny)^2
(siny=x)
=1/√1-x^2
即f'(x)=1/√1-x^2
(16)y=f(x)=arctanx
则tany=x
(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2
所以
(arctanx)'=1/1+x^2
即f'(x)= 1/1+x^2
总结一下
(x^n)'=nx^(n-1)
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(a^x)'=a^xlna
(e^x)'=e^x
(loga^x)'=1/(xlna)
(lnx)'=1/x
(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2
(secx)'=tanx*secx
(cscx)'=-cotx*cscx
(x^x)'=(lnx+1)*x^x
(arcsinx)'=1/√1-x^2
(arctanx)'=1/1+x^2
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
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导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向。下面是读文网小编带来的高三数学《导数》的备考资料以供大家学习。
不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用。在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中。诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。
知识整合
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化。在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰。
2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用。
3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰。
4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点。比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值)。
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图形是指在二维空间中以轮廓为界限的空间碎片,在一个二维空间中可以用轮廓划分出若干的空间形状。下面是读文网小编收集整理的初三数学上册《图形与证明》的复习知识点以供大家学习。
1.1等腰三角形的性质和判定:
定理:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)
定理:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)
定理:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的过也相等(简称“等角对等边”)
推论:等边三角形的每个内角都等于60º
3个角都相等的三角形是等边三角形
1.2直角三角形全等的判定
定理:斜边和一条直角过对应相等的两个直角三角形全等(简写为“HL”) 定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
定理:平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
定理:矩形的4个角都是直角
矩形的对角线相等
定理:菱形的4条边都相等
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
注:菱形的面积S=底·高=1对角线·对角线
正方形具有矩形和菱形的所有性质
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
反证法:先提出与结论相反的假设,然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果,从而证明了命题的结论一定成立。
定理:对角线相等的平行四边形是矩形
有3个角是直角的四边形是矩形
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4边都相等的四边形是菱形
推论:有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
在证明四边形为正方形时,可以说明它既是矩形又是菱形
1.4等腰梯形的性质和判定
定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
定理:等腰梯形同一底上的两底角相等
等腰梯形的对角线相等
1.5中位线
定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半
定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半
注:梯形的面积公式:S=1(上底+下底)·高=中位线·高
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人性之所以伟大,就在于人类能够超越功利与得失,懂得悲悯、敬重与宽容。下面是读文网小编收集整理的《猎人的证明》阅读题目及其参考答案以供大家学习。
8.他认为虽然猎取了很多猎物,比如松鼠、猪獾,但那都是弱小的动物,自己毫不费力就猎到了它们,并且从这些动物身上他还所得甚多,所以总没有昂扬立身的感觉。(意思对即可)(3分)
9. 他猎技高超,善于思考,有猎人的尊严,是一个超越了功利与得失,懂得悲悯、敬重与宽容的人。(3分)
10. 狐狸好像感觉到了,它拼命地撕咬那条被夹在地夹中的腿,决然地咬断了,然后不失时机地跌进更深的夜色中。(2分)
11. 答案示例:A. 这是胜利者的歌唱,声音里满含得意和向人们的示威。它好像在说:“我又成功了。人啊,你们奈何不了我的。” B. 这是临死前的哀号,叫声里充满了恐惧和绝望。它好像在哀求父亲:“求求你了,放了我吧,真正的猎人。”(符合文意即可)(4分)
12. 再聪明、狡猾和强势的畜生,它的一切行为也都是出于本能,而人类是有思想、有灵魂的,人类区别于动物最重要的一点就在于伟大的人性,人类能 够超越功利与得失,懂得悲悯、敬重与宽容。(意思对即可)(3分)
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勾股定理是一个基本的几何定理,要怎么证明呢?下面是读文网小编收集整理的勾股定理的证明方法以供大家学习。
勾股定理是一个基本的几何定理,在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a^+b^=c^ 。勾股定理现发现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得斜至日。还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。
在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.蒋铭祖定理:蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商 高同周公的一段对话。
蒋铭祖说:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”蒋铭祖那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(就是弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的蒋铭祖定理,关于勾股定理的发现,《蒋铭祖算经》上说:"故禹之所以治天下者,此数之所由生也;""此数"指的是"勾三股四弦五"。这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树。
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论:三个正方形之间的三角形,其面积小于等于大正方形面积的四分之一,大于等于一个小正方形面积的二分之一。法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比中国晚,中国是最早发现这一几何宝藏的国家。目前初二学生教材的证明方法采用赵爽弦图,证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理,它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a²+b²=c²。
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证明题是8年级下册数学学习中的一块比较重要的内容。接下来是读文网小编为大家带来的8年级下册数学证明题的习题,供大家参考。
1.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,AP平分∠BAC,且BP⊥AP,垂足为点P。若AB=10,AC=14,则PM的长为( )。
解:延长BP交AC于D,
因为AP平分∠BAC,且BP⊥AP,
所以AP是等腰三角形ABD底边上的中线
CD=AC-AD=14-10=4,
因为点M是BC的中点,
所以PM是三角形BCD的中位线,
所以PB=CD/2=4/2=2
所以PB=2
2.如图,在直角三角形ABC中,已知角ACB是90°,且CH⊥AB,HE⊥BC,HF⊥AC.求证:1.△HEF≌△EHC, 2.三角形HEF∽△HBC.,
∵HE⊥BC,HF⊥AC,∠ACB=90° ∴CFHE是矩形 ∴CE=FH, ∵∠CEH=∠EHF,EH=EH ∴△HEF≌△EHC ∵△HEF≌△EHC ∴∠EFH=∠ECH=∠BCH ∵∠BHC=∠EHF=90° ∴△HEF∽△HBC.
3.如图,在△ABC中,∠BAC是钝角.
画出:(1)∠ABC的平分线;
(2)边AC上的中线;
(3)边AC上的高.
4.如图所示,AB=AC,AC上一点D在AB的垂直平分线上,若△ABC的周长为16cm,△BCD的周长为10cm,则AB的长为.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC,若AD=6cm,则AC=.
6.等腰三角形的一腰长为10cm,底角为15°,则一腰上的高等于.
7.如图,已知AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AC于D,求∠DBC的度数.
8.(本题11分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,
求证:点A在∠CDE的平分线上.
9.(本题12分)如图,AC=DB,∠A=∠D,AB、CD交于点P
求证:(1)PA=PD;
(2)点P到OA、OD的距离相等;
10.如图:∠A=65º,∠ABD=∠DCE=30º,且CE平分∠ACB,求∠BEC.
11.. 已知如图,在△ABC中,CH是外角∠ACD的角平分线,BH是∠ABC的平分线, ∠A=58°.求∠H的度数.
12.对于同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断:(1)a∥b;(2)b∥c;(3)a⊥b;(4)a∥c;(5)a⊥c,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个正确的命题(至少写出5个),并选择其中一个命题,画出图形,给出证明.
如图:A=65,ABD=DCE=30,且CE平分ACB,求BEC.
13. 已知如图,在△ABC中,CH是外角ACD的角平分线,BH是ABC的平分线, A=58.求H的度数.
14.对于同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断:(1)a∥b;(2)b∥c;(3)a(4)a∥c;(5)ac,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个正确的命题(至少写出5个),并选择其中一个命题,画出图形,给出证明.
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随着课程的结束,教师们要如何准备测试题呢?接下来是读文网小编为大家带来的八年级数学证明检测试题,供大家参考。
八年级下第十一章 证明(一) 练习
姓名 成绩
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是 ( )
A.只需观察得出 B.只需依靠经验获得 C.通过亲自实验得出 D.必须进行有根据地推理
2.通过观察你能肯定的是 ( )
A.图形中线段是否相等 B.图形中线段是否平行 C.图形中线段是否相交 D.图形中线段是否垂直
3.下列问题用到推理的是 ( )
A.根据x=1,y=1 得x=y B.观察得到四边形有四个内角
C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘 D.由公理知道过两点有且只有一条直线
4.下列句子中,是命题的是 ( )
A.今天的天气好吗 B.作线段AB∥CD C.连结A、B两点 D.正数大于负数
5.下列命题是真命题的是 ( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角 B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2=b2,那么a=b D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等
6.判断下列命题:①等腰三角形是轴对称图形;②若a1且b1,则a+b③全等三角形对应角的平分线相等;④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
7.已知下列四个命题:(1)若直角三角形的两边长分别是3与4,则第三边长是5;(2) ;(3)若点P(a,b)在第三象限,则点Q(-a,-b)在第一象限;(4)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等,其中正确的选项是 ( )
A.只有(1)错误,其他正确 B.(1)(2)错误,(3)(4)正确
C.(1)(4)错误,(2)(3)正确 D.只有(4)错误,其他正确
8.如图,如果AB∥CD,则角、、之间的关系式为 ( )
A.++=360
B.-+=180
C.++=180
D.+-=180
二、填空题(每小题4分,共28分)
9.将命题内错角相等写成如果,那么的形式为 ,
它的逆命题是__________ ______ __ _.
10. 命题两条对角线互相平分的四边形是平行四边形的条件是:___________ _____,
结论是:_____________ ______.
11.已知1、2、3分别是△ABC的3个外角,则2+3=_______.
12. 如图,已知BDC=1420,B =340,C=280,则A= .
13.有一正方体,将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f。有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图,问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母,即a的对面为 ,b的对面为 ,
c的对面为 .
14.某参观团依据下列约束条件,从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点:
(1)如果去A地,那么也必须去B地; (2)D、E两地至少去一处;
(3)B、C两地只去一处; (4)C、D两地都去或都不去;
(5)如果去E地,那么A、D两地也必须去。
依据上述条件,你认为参观团只能去__________________。
15.如图,已知DB平分ADE,DE∥AB,CDE=82,则EDB= ,A= .
三、解答题(每小题10分,共40分)
16.请把下面证明过程补充完整:
已知:如图,DE∥BC,BE平分ABC.求证:3.
证明:因为BE平分ABC(已知),
所以1=___ ___( ).
又因为DE∥BC(已知),
所以2=__ ___( ).
所以3( ).
17.如图:A=65,ABD=DCE=30,且CE平分ACB,求BEC.
18. 已知如图,在△ABC中,CH是外角ACD的角平分线,BH是ABC的平分线, A=58.求H的度数.
19.对于同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断:(1)a∥b;(2)b∥c;(3)a(4)a∥c;(5)ac,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个正确的命题(至少写出5个),并选择其中一个命题,画出图形,给出证明.
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在课程即将结束之际,教师们要如何准备检测题呢?接下来是读文网小编为大家带来的八年级数学证明同步检测试题,供大家参考。
一.选择题:(每小题3分,共45分)
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为()
(A)60°(B)120°(C)60°或150°(D)60°或120
2.已知等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为()
(A)12或9(B)12 (C)9(D)7
3.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于()
(A)44°(B)68° (C)46° (D)22°
4.如图(1),已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC,将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是()
(A)1 (B)2(C)3 (D)4
5.如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D处测得标志物的仰角为45°,若点D到电线杆底部点B的距离为a,则电线杆AB的长可以表示为()
(A)a(B)2a(C) a (D) a
6.如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,E为AD上任意一点,过C作CF∥AB交BE的延长线于F,交AC于G,连接CE,下列结论中正确的有()
①AD平分∠BAC
②BE=CF
③BE=CE
④若BE=5,GE=4,则GF=
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
7.下列命题中的假命题是()
(A)有一个角为60°的等腰三角形一定是等边三角形
(B)有一个角为45°的等腰三角形一定是等腰直角三角形
(C)等腰三角形一腰上的高与底边夹角等于顶角的一半
(D)等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半
8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AD⊥BC于D,若BD=a,则CD等于()
(A)2a(B) (C)3a(D)
9.不能使两个直角三角形全等的条件是()
(A)一条直角边及其对角对应相等(B)斜边和一条直角边对应相等
(C)斜边和一锐角对应相等(D)两个锐角对应相等
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,BC=BD,如果AC=3cm,那么AE+DE等于()
(A)2cm(B)3cm(C)4cm(D)5cm
11.具备下列条件的两个三角形,可以证明它们全等的是()
(A)一边和这边上的高对应相等(B)两边和第三边上的中线对应相等
(C)两边和其中一边的对角对应相等(D)直角三角形的斜边对应相等
12.下列命题中,假命题是()
(A)两个全等三角形的对应高相等(B)三个角对应相等的两个三角形全等
(C)顶角和一腰对应相等的两个等腰三角形全等
(D)一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等
13.如图,△ABC是等边三角形,AD是高,并且AB恰好是DE的垂直平分线,则下列结论正确的是()
(A)△ABC≌△AED(B)△AED是等边三角形
(C)∠EAB=60°(D)AD>DE
14.如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD,则下列结论正确的是()
(A)△CDE是等边三角形(B)DE=AB
(C)点D在线段BE的垂直平分线上(D)点D在AB的垂直平分线上
15.如图,在Rt△ABC中,过直角边AC上的一点P,作直线交AB于点M,交BC的延长线于点N,且∠APM=∠A,则下列说法正确的是()
(A)点M在BN的垂直平分线上(B)∠A=∠N
(C)PN=AP(D)点N在BM的垂直平分线上
二.填空题:(每小题3分,共36分)
1.已知等腰三角形的一个内角是100°,则其余两个角的度数分别是.
2.如图,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=.
3.等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm,则它的周长是cm.
4.如图,等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD=.
5.等腰直角三角形的斜边长为 ,则此三角形的腰长为.
6.如图,BD=AD=AE,且∠B=∠C=36°,则图中有等腰三角形个.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥AB,则图中有等腰三角形个.
8.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,AC=12cm,则CD=.
9.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,AD∥BC,则图中等腰三角形共有个.
10.如图所示,AB=AC,AC上一点D在AB的垂直平分线上,若△ABC的周长为16cm,△BCD的周长为10cm,则AB的长为.
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC,若AD=6cm,则AC=.
12.等腰三角形的一腰长为10cm,底角为15°,则一腰上的高等于.
三.解答题:(共31分)
1.(本题8分)如图,已知AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AC于D,求∠DBC的度数.
2.(本题11分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,
求证:点A在∠CDE的平分线上.
3.(本题12分)如图,AC=DB,∠A=∠D,AB、CD交于点P
求证:(1)PA=PD;
(2)点P到OA、OD的距离相等;
(3)点P在∠AOD的平分线上.
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八年级下册数学几何证明一课知识你都搞懂了吗?接下来可是单元测试了。接下来是读文网小编为大家带来的八年级下册数学几何证明初步单元测试题,供大家参考。
一.单项选择题(共8小题,每小题6分,共48分)
1. 下列语句中不是命题的是( )
A.若a+b=b+c,则a=bB.两条直线平行没有公共点
C.延长直线ABD.我爱八年级一班
2. 下列命题中正确的是( )
A.若a•b>0,则a>0,b>0B.a•b<0,则a<0,b<0
C.a•b=0,则a=0,b=0 D a•b=0,则a=0或b=0
3. 举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,错误的是( )
A.设这个角是450,它的余角是450,但450=450
B.设这个角是600,它的余角是300但300<600
C.设这个角是300,它的余角是600但300<600
D.设这个角是500,它的余角是400但400<500
4. 下列推理正确的是( )
A如果a>b,b>c,则a>c B 若a>b,则ac>bc
C因为∠AOB=∠BOC,所以∠AOB与∠BOC是对顶角
D因为两角的和是1800,所以两角互为邻补角
5. 下列说法正确的是( )
A 每个命题都有逆命题 B 每个定理都有逆定理
C 所有的命题都是定理 D 假命题的逆命题是假命题
6. 如图∠BAD=∠BCD=900,AB=CD,可以证明△BAD≌△BCD的理由是( )
A.HL B ASA C SAS D AAS
7. 下列命题宜用反证法证明的是 ( )
A 等腰三角形两腰上的高相等,B 有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形 C 两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行
D 全等三角形的面积相等
8.在证明“在△ABC中至少有一个角是直角和钝角”时,的一步应假设( )
A三角形至少有一个角是直角或钝角
B三角形中至少有两个直角或钝角
C三角形中没有直角或钝角
D三角形中三个角都是直角或钝角
二、 填空题(共4小题,每小题6分,共24分,只要求填写结果)、
9.如图,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别是D、E,BE、CD交于点O,且AO平分
∠BAC,那么图中全等三角形共有对
10. 已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,CE=1, 把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为。
11.利用反证法证明“在△ABC中,∠A>∠B,求证:BC>AC"是,第一步应假设: 。
12. 如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条件是
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面对即将到来的单元检测,同学们要如何准备呢?接下来是读文网小编为大家带来的初二数学第1章三角形的证明单元测试题,供大家参考。
一、填空题(每小题3分):
1.如图,修建抽水站时,沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道,若量得水管
AB的长度为80米,那么点B离水平面的高度BC的长为 米.
2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个三角形
是 三角形.
3. 如图,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是
或 .
4. 命题:“全等三角形的对应角相等”的逆命题是
___________________________________ ___.
这条逆命题是______命题(填“真”或“假”)
5. 如图,一个顶角为40º的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四
边形,则_________ ;
6. 在△ABC中,已知AB=AC,AD是中线,∠B=70°,BC=15cm,
则∠BAC= ,∠DAC= ,BD= cm;
7. 已知,如图,O是△ABC的∠ABC.∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB
交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC = 10,则△ODE的周长
为 .
8. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC的垂直平分线
MN与AB相交于D点,则∠BCD的度数是 .
9. △ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D.若DC=7,则D到AB的距离是 .
10. 如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD
的长为 .
二、选择题(每小题3分)
1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2,则它的顶角等于( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
2.下列两个三角形中,一定全等的是 ( )
A.有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形
D.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
3. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的( )
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点 D.三边垂直平分线的交点
4. △ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于点D若BC=a,则AD等于( )
A.a B.a C.a D.a
5. 如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )
A.30° B.36° C.45° D.70°
三、解答题(每题12分)
1. 如图,AD⊥CD,AB=10,BC=20,∠A=∠C=30°.求:(1)∠ABC的度数
(2)AD和CD的长.
2.已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=120°.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线,分别交BC. AB于点M.N(保留作图痕迹,不写作法).
(2)猜想CM与BM之间有何数量关系,并证明你的猜想.
四、证明题(每题10分)
1.已知:如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD.
求证:D在∠BAC的平分线上.
2. 已知:如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使 CE = CD.
求证:BD = DE.
五、(本题11分)
阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.
已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,
且∠BAE=∠CDE.
求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.
现给出如下三种添加辅助线的方法提示,请任意选择其中一种,对原题进行证明.
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教师们在面对即将到来单元检测要如何准备呢?接下来是读文网小编为大家带来的八年级数学图形的证明单元测试题,供大家参考。
一、选择题(每题3分,共24分)
l、下列判定正确的是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.两角相等的四边形是等腰梯形
C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
2、用两个全等的直角三角形拼下列图形:①平行四边形(不包含菱形、矩形、矩形、正方形);
②矩形;③正方形;④等腰三角形,一定可以拼成的图形是 ( )
A.①② B.②④ C.②③ D.①②④
3、下列句子中,不是命题的是 ( )
A.三角形的内角和等于180度: B.对顶角相等;
C.过一点作已知直线的垂线; D.两点确定一条直线.
4、已知下列命题:①相等的角是对顶角;②互补的角就是平角;③互补的两个角一定是一 个锐角,另一个为钝角;④平行于同一条直线的两直线半行;⑤邻补角的半分线互相垂 直.其中,真命题的个数为 ( )
A.0 B.1个 C.2个 D.3个
5、下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.直角都相等 B.如果x2+y2=0,那么x=y=0
C.钝角都小l800 D.对顶角相等
6、如图,直线,l1∥l2,l3⊥l4.有三个命题:①∠l+∠3=900;②∠2+∠3=900;③∠2≠∠4.下列说法中,正确的是 ( )
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和③正确 D.①②③都正确
7、如下图左:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于 ( )
A.1800 B.3600 C.5400 D.7200
8、如图所示,AM是△ABC的角平分线,N为BM 的中点,NE∥AM交AB于点D,交CA的延长线于点E,下列结论中正确的是 ( )
A.BM=MC B.AE=BD C.AM=DE D.DN=BN
二、填空题(每题3分,共24分)
9、命题:等角的补角相等的条件是__________________结论是__________________
10、命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________。
这个逆命题是__________________命题(填“真”或“假”)
11、举反例说明命题是假命题:同旁内角互补。__________________。
l2、某参观团依据下列约束条件,从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点:
(1)如果去A地,那么也必须去B地: (2)D、E两地至少去一处;
(3)B、C两地只去一处; (4)C、D两地都去或都不去;
(5)如果去E地,那么A、D两地也必须去
依据上述条件,你认为参观团只能去__________________.
13、命题“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”的条件是:__________________结论是:__________________.
14、如图所示,直线AB、CD被直线EF所截,若∠l=∠2,则∠AEF=∠CFE=_______度.
15、∠l、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角,则∠l+∠2+∠3=__________.
16、如图,Rt△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,BD平分∠CBE,则∠ADB=______0.
三、解答题(本大题共52分)
l7、(本题6分)请把下面证明过程补充完整:
已知:如图,DE∥BC,平分∠ABC.
求证:∠l=∠3.
证明:因为BE平分∠ABC(已知),
所以∠l=_________( ).
又因为DE∥BC(已知),
所以∠2=___________( ).
所以∠l=∠3( ).
18、(本题8分)将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式。
(I)能被2整除的数也能被4整除; (2)相等的两个角是对顶角;
(3)若xy=0,则x=0; (4)角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
19、(本题8分)如图:
(1)画△ABC的外角∠BCD,再画∠BCD的平分线CE.
(2)若∠A=∠B,请完成下面的证明:
已知:△ABC中,∠A=∠B,CE是外角∠BCD的平分线
求证:CE∥AB
20、(本题10分)请阅读下面的材料,并回答所提出的问题。
三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知:如图,△ABC中,AD是角平分线,求证: =
分析:要证 = ,一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、 AB与DC、AC所在的三角形相似。现在B、D、C在一直线上,△A BD与△A DC不相似,需要考虑用别的方法换比。
在比例式 = 中,AC恰是BD、DC、AB的第四比例项,所以考虑过C作CE∥AD,交BA的延长线于E,从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE,这样,证明 = 就可以转换为证AE=AC。
(1)证明:过C作CE∥DA,交BA的延长线于E。(完成以下证明过程)
∵AE=AC ( )
∴△BAD ∽ △BEC ∴ = ( )
∴ =
(2)用三角形内角半分线性质定理解答问题:已知:如图,
∆ABC中,AD是角平分线,AB=5cm,AC=4cm,
BC=7cm.求:BD的长。
21. (本题l0分)如图,在△ABE和△ACD中,给出以下四个论断:①AB=AC;②AD=AE; ③AM=AN;④AD┴DC,AE┴BE.
(1)以其中三个论断为条件,填入下面的“已知”栏中,一个论断为结论,填入下面的“求证”栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程。
已知: 如图, 在△ABE和△ACD中,______________________,求证:___________________________.
证明:
(2)你能用序号再写一个真命题吗?书写形式如:
如果_______________________________,
那么_______________________________。不用证明。
22、(本题l0分)取一副三角板按图①拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小a的角(00<0≤450得到△ABC,如图②所示。试问:
(1)当a为多少度时,能使得图②中AB∥CD?
(2)当旋转至图③位置,此时a又为多少度? 图③中你能找出哪几对相似三角形,并求其中一对的相似比。
(3)连结BD,当00<0≤450时,探寻么∠DBC+∠CAC+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明。
参考答案
1. C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.B
9.两个角相等,它们的补角相等. 10.对角线相等的四边形矩形,假.
11.如:三角形相邻的两个角.
12.B 13.四边形的对角线相等,四边形是平行四边形.
14.180° 15.360° 16.45° 17.略
18.(1)如果一个数能被2整除,那么这个数也能被4整除(2)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角(3)如果xy=0,那么x=0(4)如果一个点在角平分线上,那么这个点到这个角两边的距离相等.
19.略
20.(1)∴∠1=∠ ,∵ ,∴∠1=∠2,∴∠2=∠ ,∴ (等角对等边), ∵ ,∴△BAD∽△BEC ,∴ (相似三角形对应边成比例), ∴ .(2)
21.已知:AB=AC,AD=AE,AD⊥DC,AE⊥BE.求证:AM=AN.(2)如果:②③④,那么①.
22(1)15°(2)30°,2对, (3)90°.
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八年级数学下册第一章三角形的证明的知识你都学会了吗?同学们要如何应对接下来的单元测试呢?接下来是读文网小编为大家带来的八年级数学下册第一章三角形的证明的测试题,供大家参考。
一、选择题(每题3分,共24分)
1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形( )的交点.
A. 三个内角平分线 B. 三边垂直平分线 C. 三条中线 D. 三条高
2.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm,则△ABC的面积 是( )
A.24cm2 B.30cm2 C.40cm2 D.48cm2
3.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝,则该等腰三角形的周长是( )
A.7㎝ B.9㎝ C.12㎝或者9㎝ D.12㎝
4. 面积相等的两个三角形( )
A.必定全等 B.必定不全等 C.不一定全等 D.以上答案都不对
5.一个等腰三角形的顶角是40°,则它的底角是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
6. 如图,在△ABC和△DEF中,已知AC=DF,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要的条件是( )
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D
7.如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD, 则∠A的度数为( )
A.30° B.36° C.45° D.70°
8.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论X k B 1 . c o m
①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每题3分,共24分)
9.“等边对等角”的逆命题是______________________________.
10.已知⊿ABC中,∠A = ,角平分线BE、CF交于点O,则∠BOC = .
11.如果等腰三角形的有一个角是80°,那么顶角是 度.
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,腰长为6,则其底边上的高是 。
13.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30° ,BD平分∠ABC交AC于D,若CD=2cm,则AC= .
14.Rt⊿ABC中,∠C=90º,∠B=30º,则AC与AB两边的关系是 ,
15.在△ABC中,边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P,则PA、PB、PC的大小关系是 .
16.在△ABC中,∠A=40°,AB=AC ,AB的垂直平分线交AC与D,则∠DBC的度数为.
三.基础题(每题6分,共36分)
17.如图,在△ABD和△ACD中,已知AB=AC,∠B=∠C,求证:AD是∠BAC的平分线.
18.如图,∠A=∠D=90°,AC=BD.求证:OB=OC;
19.如下图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:CD=CB.
20.如图,DC⊥CA,EA⊥CA, CD=AB,CB=AE.求证:△BCD≌△EAB.
21.如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD. 求证:D在∠BAC的平分线上.
22.如图,中,是腰的垂直平分线,求的度数。
四、提高题(每题8分,共16分)
23.作图题:在下图△ABC所在平面中,
(1)作距△ABC三边距离相等的点P; (2)作距△ABC三个顶点距离相等的点Q.
24. 如图,△ABC中,∠B=90°,AB=BC,AD是△ABC的角平分线,若BD=1,求DC的长.
五.综合题(每题10分,共20分)
25.如图,已知: D是△ABC中BC边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE,求证:∠BAE=∠CAE.
证明:在△AEB和△AEC中,
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问:上面证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理根据;若不正确,请指出错在哪一步?并写出你认为正确的推理过程;
26.如图,在△ABD和△ACE中,有四个等式:①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE.
以其中三个条件为已知,填入已知栏中,一个为结论,填入下面求证栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程。
已知: .
求证: .
证明:
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为了能更好的提升同学们的数学成绩,教师们要如何做呢?接下来是读文网小编为大家带来的八年级数学命题与证明单元测试题,供大家参考。
1.下列语句中,属于定义的是 ( ).
(A)直线AB和CD垂直吗
(B)过线段AB的中点C画AB的垂线
(C)数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数
(D)同旁内角互补,两直线平行
2.下列命题中,属于真命题的是 ( )
(A)若一个角的补角大于这个角 (B)若a∥b,b∥c,则a∥c
(C)若a⊥c,b⊥c,则a∥b (D)互补的两角必有一条公共边
3.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( ).
(A)垂直 (B)两条直线
(C)同一条直线 (D)两条直线垂直于同一条直线
4.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的例子是( )
(A)∠1=50°,∠2=40° (B)∠1=50°,∠2=50°
(C)∠1=∠2=45° (D)∠1=40°,∠2=40°
5.已知△ABC的三个内角度数比为2:3:4,则这个三角形是 ( ).
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
6.在三角形的内角中,至少有 ( )
(A)一个钝角 (B)一个直角 (C)一个锐角 (D)两个锐角
7.若等腰三角形的一个外角为110°,则它的底角为( ).
(A)55° (B)70° (C)55°或70° (D)以上答案都不对
8.若三角形的三个外角的度数之比为2:3:4,则与之对应的三个内角的度数之比为 ( ).
(A)4:3:2 (B)3:2:4 (C)5:3:1 (D)3:1:5
9.如图,在锐角△ABC中,CD和BE分别是AB和AC边上的高,且CD和BE交于点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是 ( ).
(A)150° (B)130° (C)120° (D)100°
10.如图6所示,△ABC与△BDE都是等边形,AB<BD.若△ABC不动,将△BDE绕点B旋转,则在旋转过程中,AE与CD的大小关系为 ( )
A.AE=CD B.AE>CD C.AE<CD D.无法确定
二、填空题(每题3分,共24分)
1.在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么_______.
2.判断角相等的定理(写出2个) ,
。
3.判断线段相等的定理(写出2个) ,
。
4.命题“同旁内角互补”中,题设是 ,结论是 .
5.填空使之成为一个完整的命题。
(1)若a⊥b,b∥c,则 .
(2)若 ,则这两个角互补。
(3)若a∥b,b∥c,则 。
6.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式。
(1)锐角小于90o。答: 。
(2)两点确定一条直线。答: 。
(3)相等的角是对顶角。答: 。
(4)全等三角形的对应角相等,对应边相等。答: .
(5)垂直于同一条直线的两条直线平行。答:
(6)直角都相等。答:
7.三角形两边的长分别为5和7,则最短边长的取值范围是 .
8.在△ABC中,∠B=45°,∠C=72°,那么与∠A相邻的一个外角等于______.
9.在直角三角形中,两个锐角的差为20°,则两个锐角的度数分别为_____.
10.如图,已知∠BDC=142°,∠B=34°,∠C=28°,则∠A=________.
11.如图,已知DB平分∠ADE,DE∥AB,∠CDE=82°,则∠EDB=_____,∠A=_____.
12.在四边形ABCD中,AC是对角线.下列三个条件:
①∠BAC=∠DAC;②BC=DC;③AB=AD.请将其中的两个作为已知条件,另一个作为结论构成一个真命题:如果__________________________________,
那么_________________________________________.
三、解答题
1.(本题9分)求证(填空):两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角不互补,那么这两条直线不平行.
已知:如图,直线 被 所截,∠1+∠2____180°.
求证: _______.
证明:假设 ,
则∠1+∠2____180°( )
这与______________矛盾,故_________不成立.
所以____________________________________.
3、填空(每空1分,共13分)
已知:如图12,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,交AB于G,交CA延长线于E,∠1=∠2.
求证:AD平分∠BAC,填写分析和证明中的空白.
分析:要证明AD平分∠BAC,只要证明__________=____________,
而已知∠1=∠2,所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系,由已知BC的两条垂线可推出________∥_________,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论.
证明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴________∥_________( )
∴_______=________(两直线平行,内错角相等),
________= (两直线平行,同位角相等)
∵ (已知)
∴______________即AD平分∠BAC( )
20.(本题7分)已知如图,在△ABC中,CH是外角∠ACD的角平分线,BH是∠ABC的平分线, ∠A=58°.求∠H的度数.
2.(本题8分)求证:等腰三角形两腰上的高相等。
21. 如图,AB=AE,AC=AD,要使EC=BD,需添加一个什么条件?
请你添加一个条件,请说明理由.
22.(本题8分)观察右边各式:
想一想:什么样的两个数之积等于这两个数的和?
设n表示正整数,用关于n的代数式表示这个规律:
_______×_______=_______+________.
你能说明理由吗?
23.(本题10分)如图(1):已知等腰直角三角形ABC中,∠ACB= ,直线 经过点C,AD⊥ ,BE⊥ ,垂足分别为D、E。
(1)证明ΔACD≌ΔCBE;(5分)
(2)如图2,当直线 经过ΔABC内部时,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由。(5分)
25.(6分)阅读理解题:
(1)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,且AD= BC.
求证:∠BAC=90°.
证明:∵AD= BC,BD=CD= BC,
∴AD=BD=DC,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°.
(2)此题实际上是直角三角形的另一个判定定理,请你用文字语言叙述出来.
(3)直线运用这个结论解答题目:一个三角形一边长为2,这边上的中线长为1,另两边之和为1+ ,求这个三角形的面积.
20、如图在ΔABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F
⑴求证:AE=CF(6分)
⑵是否还有其他结论,不要求证明(至少2个,4分)
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初二数学中的证明题能比较全面的反映学生的分析问题和解决问题的能力.初二数学证明题有哪些呢?接下来是读文网小编为大家带来的初二数学d 证明题,供大家参考。
1、如图,AB=AC,∠BAC=90°,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.且BD>CE
,证明BD=EC+ED
.解答:证明:∵∠BAC=90°,CE⊥AE,BD⊥AE,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠DAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°.
∴∠ABD=∠DAC.
又∵AB=AC,(
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD=AE,EC=AD.
∵AE=AD+DE,
∴BD=EC+ED.
2、△ABC是等要直角三角形。∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C做AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证∠ADC=∠BDE
解:作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.
又∵中点D,
∴CD=BD.
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH.
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠PAH=∠PCF.
又∵∠APH=∠CEH,
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH(ASA).
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB.
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,
∴△PDC≌△EDB(SAS).
∴∠ADC=∠BDE.
2
证明:作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
∵∠3=∠4,
∴OE=OF. (问题在这里。理由是什么埃我有点不懂)
∵∠1=∠2,
∴OB=OC.
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).
∴∠5=∠6.
∴∠1+∠5=∠2+∠6.
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形
过点O作OD⊥AB于D
过点O作OE⊥AC于E
再证Rt△AOD≌ Rt△AOE(AAS)
得出OD=OE
就可以再证Rt△DOB≌ Rt△EOC(HL)
得出∠ABO=∠ACO
再因为∠OBC=∠OCB
得出∠ABC=∠ABC
得出等腰△ABC
4.1.E是射线AB的一点,正方形ABCD、正方形DEFG有公共顶点D,问当E在移动时,∠FBH的大小是一个定值吗?并验证
(过F作FM⊥AH于M,△ADE全等于△MEF证好了)
2.三角形ABC,以AB、AC为边作正方形ABMN、正方形ACPQ
1)若DE⊥BC,求证:E是NQ的中点
2)若D是BC的中点,∠BAC=90°,求证:AE⊥NQ
3)若F是MP的中点,FG⊥BC于G,求证:2FG=BC
3.已知AD是BC边上的高,BE是∠ABC的平分线,EF⊥BC于F,AD与BE交于G
求证:1)AE=AG(这个证好了) 2)四边形AEFG是菱形
4.,在四边形ABCD中,AB=DC,∠B=∠C<90 ,求证:四边形ABCD是梯形.
证明:
5.如图:在大小为6×5的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请解答下列问题:
(1)在图中画一个△DEF ,使△DEF∽△ABC(相似比不为1),要求点D,E,F必须在单位正方形的顶点上(可以使用已用过的顶点);
(2)写出它们对应边的比例式;并求△DEF与△ABC的相似比.
6. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD。
7.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:CD=1/2AB.
8. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2.
9.如图:AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:MB=MC
10.如图,给出五个等量关系:① AD=BC ②AC=BD ③CE=DE ④∠D=∠C ⑤ ∠DAB=∠CBA.
请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
11.如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。
12.如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:AE=DE.
13.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,
求证:∠ADC=∠BDE.
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关于正弦定理与余弦定理的多种证明方法
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。以下是小编为大家收集的关于正弦定理与余弦定理的证明方法的相关内容,供大家参考!
数学正弦定理公式:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式:cos A=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决三角形的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式
1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推论公式
1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
三、正弦定理的运用:
1、已知三角形的两角与一边,解三角形。
2、已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形。
3、运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。
四、余弦定理的运用:
1、当已知三角形的两边及其夹角,可由余弦定理得出已知角的对边。
2、当已知三角形的三边,可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3、当已知三角形的三边,可以由余弦定理得到三角形的面积。
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