为您找到与利用导数证明相关的等式相关的共95个结果:
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。下面是读文网小编为您整理的海伦公式的证明方法,希望对您有所帮助!
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明⑷
通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)
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导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df/dx(x0)。
导数的定义:f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了)
用定义求导数公式
(1)f(x)=x^n
证法一:(n为自然数)
f'(x)
=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx
=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx
=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)
=nx^(n-1)
证法二:(n为任意实数)
f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)/f(x)=n/x
f'(x)=n/x*f(x)
f'(x)=n/x*x^n
f'(x)=nx^(n-1)
(2)f(x)=sinx
f'(x)
=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx
=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=lim cosxsinΔx/Δx
=cosx
(3)f(x)=cosx
f'(x)
=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx
=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx
=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx
=lim -sinxsinΔx/Δx
=-sinx
(4)f(x)=a^x
证法一:
f'(x)
=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx
=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx
(设a^Δx-1=m,则Δx=loga^(m+1))
=lim a^x*m/loga^(m+1)
=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]
=lim a^x*lna*m/ln(m+1)
=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]
=lim a^x*lna/lne
=a^x*lna
证法二:
f(x)=a^x
lnf(x)=xlna
[lnf(x)] '=[xlna] '
f' (x)/f(x)=lna
f' (x)=f(x)lna
f' (x)=a^xlna
若a=e,原函数f(x)=e^x
则f'(x)=e^x*lne=e^x
(5)f(x)=loga^x
f'(x)
=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx
=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx
=lim loga^(1+Δx/x)/Δx
=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)
=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)
=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)
=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)
=lim lne/(x*lna)
=1/(x*lna)
若a=e,原函数f(x)=loge^x=lnx
则f'(x)=1/(x*lne)=1/x
(6)f(x)=tanx
f'(x)
=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx
=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx
=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))
=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
(7)f(x)=cotx
f'(x)
=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx
=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx
=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))
=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
(8)f(x)=secx
#p#副标题#e#f'(x)
=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx
=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx
=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)
=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))
=sinx/(cosx)^2=tanx*secx
(9)f(x)=cscx
f'(x)
=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx
=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx
=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))
=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx
(10)f(x)=x^x
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)/f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f'(x)=(lnx+1)*x^x
(12)h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(13)h(x)=f(x)/g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx
=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))
=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x
(14)h(x)=f(g(x))
h'(x)
=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx
=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx
(另g(x)=u,g(x+Δx)-g(x)=Δu)
=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx
=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)
=lim f'(u)*Δu/Δx
=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)
(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1,因为函数与反函数关于y=x对称,所以导数也关于y=x对称,所以导数的乘积为1)
(15)y=f(x)=arcsinx
则siny=x
(siny)'=cosy
所以
(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy
=1/√1-(siny)^2
(siny=x)
=1/√1-x^2
即f'(x)=1/√1-x^2
(16)y=f(x)=arctanx
则tany=x
(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2
所以
(arctanx)'=1/1+x^2
即f'(x)= 1/1+x^2
总结一下
(x^n)'=nx^(n-1)
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(a^x)'=a^xlna
(e^x)'=e^x
(loga^x)'=1/(xlna)
(lnx)'=1/x
(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2
(secx)'=tanx*secx
(cscx)'=-cotx*cscx
(x^x)'=(lnx+1)*x^x
(arcsinx)'=1/√1-x^2
(arctanx)'=1/1+x^2
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
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在不等式的证明问题中,发现一类证法原理一样的不等式,现呈现如下:
比较不等式①、②发现其形式与证法都是类似的,不等式①、②的形式左边、右边都是几个的和,左边是分式的形式,且分子的次数比分母高一次;然后是证法都是通过添加项多次利用基本不等式,得到最终想要的结果。由这样的规律,可把上述不等式推广到更一般的形式有:
以上述形式类似,证法一样的题目还有很多,下面再举一个例子:
从上述的例子,我们可以看到,在运用基本不等式证明不等式时,有这样一类不等式,就是把不等式左边的所有项通过添加项运用基本不等式,再用不等式加法性质把所有式子相加,而得到最终要证明的不等式。这类不等式的证明在添加项的时候,添加什么样的项需要一定的技巧。因此,我们在平时需多进行练习,去熟悉基本不等式,并且能熟练的运用基本不等式。
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关于正弦定理与余弦定理的多种证明方法
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。以下是小编为大家收集的关于正弦定理与余弦定理的证明方法的相关内容,供大家参考!
数学正弦定理公式:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式:cos A=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决三角形的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式
1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推论公式
1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
三、正弦定理的运用:
1、已知三角形的两角与一边,解三角形。
2、已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形。
3、运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。
四、余弦定理的运用:
1、当已知三角形的两边及其夹角,可由余弦定理得出已知角的对边。
2、当已知三角形的三边,可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3、当已知三角形的三边,可以由余弦定理得到三角形的面积。
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初一第三章即将学完,初一地理上册第三章知识点有哪些呢?接下来是读文网小编为大家带来的关于初一地理上册第三章知识点集锦,希望会对大家有所帮助。
第一节多变的天气
一.天气及其影响
1.人们经常用阴晴,风雨,冷热来描述天气。
2.天气的特点:⑴天气反映了一个地方短时间里的大气状况,他是经常变化的。
⑵同一时刻,不同地方的天气可能差别很大。
二.明天的天气怎么样
1.卫星云图绿色表示陆地,蓝色表示海洋,白色表示云雨区。
2.天气预报的制作过程的主要环节:获取情报→接受信息→制作成图表→得出结论→电视播报
3.天气预报的内容:天气预报要说明一日的阴晴,风,气温和降水的情况。
A.气温:大气冷热的程度
B.降水概率:表示降水可能性的大小。降水概率为100%,表示肯定“有雨”;降水概率为0,表示肯定”无雨“。
C.风向是风的来向。风力是风的强弱,共13级,次数越大,风力越强,所用符号一杠表示二级。
4.天气图:按照专门规定的数字符号,把收集到的同一地点的气象观测记录填在地图上,这种图叫天气图,天气图是气象工作者预报天气的主要工具。
三.我们需要洁净的空气
1.空气质量的高低,于空气中所含污染物的数量有关,可以用污染指数来表示。新鲜的空气污染指数小对人体健康有利,污染的空气污染指数大,对人体有害。
第二节气温和气温的分布
一.气温与我们
1.气温:我们把大气的温度称为气温。气温一般用℃表示,读作摄氏度。
2.气温的观测:通常一天要进行4次,一般在8时,14时,20时,2时。
3.测试气温的仪器:放在百叶箱的温度计(百叶箱要离地1.5米)
4.日平均气温:一天中不同时间气温值的平均次数就是日平均气温。
日平均气温=一日之内气温观测值之和÷观测次数
月平均气温=一月内日平均气温之和÷当月天数
年平均气温=一年内月平均气温之和÷月数(12个月)
二.气温的变化
1.气温的日变化:一天当中气温有时高,有时低,陆地最高气温出现在午后2时,最低气温出现在日出前后。
2.气温的年变化:
大陆:一年当中世界陆地上大多数地方的月平均气温最高
气温北半球出现在7月,南半球出现在1月
平均最低气温北半球出现在1月,南半球出现在7月,南北半球季节相反
海洋:一年当中海洋上北半球最高月气温出现在8月,南半球出现在2月
南半球最低气温出现在8月,北半球最低气温出现在2月
3.气温日较差:最高气温与最低气温的差叫做气温日较差。
气温年较差:一年内最高月平均气温和最低月平均气温的差,叫做气温年较差。
二.气温的分布
1.等温线:在地图上把气温相同的点连接成线叫做等温线,在同一条等温线上,各点的气温相等。
2.等温线密集的地方,气温差别大;等温线稀疏的地方,气温差别小。
3.当等温线呈封闭形状时,如果中心气温比周围气温低,表示这里就是低温中心,如果中心气温高,表示这里是高温中心。
4.气温的分布规律:⑴从赤道向两极逐渐降低⑵低纬度气温高,高纬度气温低⑶同一纬度,夏季陆地气温高,海洋气温低,冬季陆地气温低,海洋气温高⑷同一地点,海拔低,气温高,海拔高,气温低(海拔每升高100米,气温约下降0.6℃)
5.影响气温分布的因素:⑴纬度因素⑵海陆因素⑶地形因素
第三节降水和降水的分布
一.降水与我们
1.降水:从大气中降落到地面的雨,雪,冰雹等,统称为降水。
2.降雨是降水的主要形式。
3.降雨的划分:根据单位时间内降雨量的多少,气象部门把降雨分为小雨,中雨,大雨,暴雨等不同等级。
4.测量降水量的基本仪器是雨量器。降水量的单位是毫米。
二.降水的季节变化
1.通常用降水量柱状图来表示降水量的分布情况。
三.降水的分布
1.降水的分布规律:
⑴赤道附近地区降水少,两极地区降水少
⑵南北回归线两侧大陆东岸降水多,大陆西岸少。
⑶在温带,沿海地区降水多,内陆地区降水少。
⑷山地的迎风坡降水多,背风坡降水少。
2.在同一条等降水量线上,各点的降水量相等。
3.世界“雨极”:乞拉朋齐;世界“干极”:阿塔卡马沙漠
4.影响降水的因素: ①纬度位置②海陆位置③地形因素
第四节世界的气候
一.气候地区差异
1.气候:气候是一个地方多年的天气平均状况,一般变化不大。
2.气候一般只注意气温,降水两个因素。
3.热带地区分布的气候类型:⑴热带雨林气候:全年高温多雨⑵热带草原气候:全年高温,分干湿两季(雨季和干季)⑶热带季风气候:全年高温,分旱湿两季⑷热带沙漠气候:全年高温少雨
4.温带地区分布的气候类型:⑴地中海气候:夏季干旱炎热,冬季温湿多雨⑵温带海洋性气候:冬季温和,夏季凉爽,降水分配均匀⑶亚热带季风气候:夏季高温多雨,冬季温和湿润⑷温带季风气候:夏季高温多雨,冬季寒冷干燥⑸温带大陆性气候:夏季炎热,冬季寒冷,降水少
5.寒带地区的气候类型:⑴极地气候:终年寒冷干燥
6.高原山地气候
二.影响气候的主要因素
1.影响气候的主要因素有纬度位置,海陆位置,地形。
三.气候对人类活动的影响
1.气候也影响人类的生产活动,其中对农业的影响最显著。农作物的生长,都需要一定的温度和水分。
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初一地理要如何才能学好呢?接下来是读文网小编为大家带来的初一学法指导之利用地图学好地理,供大家参考。
一、读懂地图是关键地图被称为是地理的“第二语言”,是学习地理的重要工具。上课时要做到左图右书,图文结合,充分利用地图来学好地理。要读懂地图,首先要掌握必要的地图基础知识:识记不同的图例,会读不同比例尺的地图,会用比例尺量算距离,会根据不同情况定方向,会看地势高低,会读出任何地点的经纬度数等等。要做到会获取地图信息:
读图时,切忌“眉毛胡子一把抓”,首先要分清该图的类型,能够从不同的图上获取不同的地图信息:
1位置图会从半球位置(东西南北半球)、纬度位置(根据纬度确定温度带)和海陆位置(相邻的陆地和海洋)三方面来介绍一个区域的位置。2政区图认识不同的大洲(国家、省区)及轮廓特征,了解其空间分布及彼此相对位置关系。3地形图知道重要地形区及分布、地势起伏状况、河流源地、流向及注入海洋等。如读南亚地形图,获取以下重要信息:主要地形区为北部喜马拉雅山,中部恒河平原,南部德干高原,该国地势南北高,中间低,北部最高。而该国重要河流恒河源于北部山地,大致自西北向东南流,注入孟加拉湾。4气候图(气温和降水量图)根据气温和降水特点来确定不同的气候类型,并会描述各自的气候特征。在初中地理学习中,气候这部分知识既是重点,又是难点,许多同学不会根据图表准确地判断气候类型、分析气候特点。那么你可以借助各月的气温和降水量图,按照“以温定带,以水定型”的方法来进行判断。二、填绘地图填绘地图,这是每一个想学好地理的学生都必须学会的一项重要地理技能。通过填绘图,可以对知识进行系统的整理与归类,将课本知识变薄,这对构建“心理地图”、形象记忆地理知识起着极其重要的作用。
首先希望你能准备一个自己非常喜爱的绘图本,起上一个好听的名字,写上一句喜欢的名言或警句,里面的白纸最好薄一点,这样对勾图有利,具体过程可以下几个步骤:
1.勾画轮廓:
这一过程比较简单,做法是:将复写纸放到所学大洲(区域或国家)的图上,将边缘轮廓复印到画图本上,或将画图本的纸张放到课本图上勾画。同时还要观察有无重要的经纬线(赤道、回归线、极圈)穿过本洲(区域或国家),以便初步确定空间位置。轮廓勾画好之后,还要练练自己的眼力,看轮廓像什么:如我国大陆酷似东方雄鸡,北美则像一只飞奔的鹿等,这样可培养地理形象感知力。或者绘画能力比较强的同学也可以画简图,比如画出世界七大洲和四大洋的分布,这样能很好的记住大洲大洋的位置分布。
2.填绘知识:
填绘即用不同的符号或颜色将地理知识绘到勾画好的轮廓图中。填绘应当注意以下几个方面:①重点突出,目的明确。一张图不能描得“琳琅满目”,要体现本课重要知识点。②运用符号时,无论是点、线、面均应根据地理事物的类别加以区别。
3.在彩绘时,还可运用不同的表达方式,如有的可以打“点”子,有的可以划斜线等等,这样也能达到预定效果,并能够节省涂大片彩色的时间。
4.要配以相应的文字注记。如这个“点”是“北极”,这条“线”是赤道,这片“面”(区域)是西亚地区,要用文字注一下。经过一段时间后训练,当掌握了一般的绘图步骤后,就可以边回忆知识边填绘。如果某一项的内容记得不全,可以先复习一下课本知识再进行默绘,坚持做下去后,你对地图的归纳与总结能力就会慢慢提高了,同时也会发现自己的记忆方式改变了,对各种地理知识的记忆不再是干巴巴的文字,而是图文合一,知识变得形象而生动,记忆速度也大大提高了。
学习地理非常重要,学习地理的方式并不是只有简单的一种,希望同学们能够掌握科学的地理学习方法,使地理学得轻松、学得牢固。愿每一位同学爱学地理,会学地理,学好地理,祝同学们天天进步!
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测试是为了学生们能更好的了解自己的学习情况,接下来是读文网小编为大家带来的七年级数学下册第9章不等式与不等式组检测题,供大家参考。
一.1. x-5≥3 2.> < > > 3.x<-4 4.x≤3 5.0. -2,-1,0
6.1≤m<2 7.4 8.x≤18 9.12
二.1C 2A 3B 4A 5B 6D 7B 8C
三.1.x>-2,图略
2.解不等式①得:x>2.5
解不等式②得:x≤4, 所以不等式组的解集2.5<x≤4,整数解为:4,3
3.解方程组得x=m+3,y=-m+5,因为x>y,所以m+3>-m-5,m>-4
所以当m>-4时,x>y
4.20瓶以下,选甲商场
20≤x<40瓶,选甲商场
X=40瓶,两商场一样
x>40瓶,选乙商场
5.设有x只猴子,则有(3x+59)只桃子,根据题意得:
0<(3x+59)-5(x-1)<5
解得29.5<x<32
因为x为整数,所以x=30或x=31
当x=30时,(3x+59)=149
当x=31时,(3x+59)=152
答:有30只猴子,149只桃子或有31只猴子,152只桃子。
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面对即将到来的单元检测,同学们要如何准备呢?接下来是读文网小编为大家带来的初二数学第1章三角形的证明单元测试题,供大家参考。
一、填空题(每小题3分):
1.如图,修建抽水站时,沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道,若量得水管
AB的长度为80米,那么点B离水平面的高度BC的长为 米.
2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个三角形
是 三角形.
3. 如图,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是
或 .
4. 命题:“全等三角形的对应角相等”的逆命题是
___________________________________ ___.
这条逆命题是______命题(填“真”或“假”)
5. 如图,一个顶角为40º的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四
边形,则_________ ;
6. 在△ABC中,已知AB=AC,AD是中线,∠B=70°,BC=15cm,
则∠BAC= ,∠DAC= ,BD= cm;
7. 已知,如图,O是△ABC的∠ABC.∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB
交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC = 10,则△ODE的周长
为 .
8. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC的垂直平分线
MN与AB相交于D点,则∠BCD的度数是 .
9. △ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D.若DC=7,则D到AB的距离是 .
10. 如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD
的长为 .
二、选择题(每小题3分)
1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2,则它的顶角等于( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
2.下列两个三角形中,一定全等的是 ( )
A.有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形
D.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
3. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的( )
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点 D.三边垂直平分线的交点
4. △ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于点D若BC=a,则AD等于( )
A.a B.a C.a D.a
5. 如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )
A.30° B.36° C.45° D.70°
三、解答题(每题12分)
1. 如图,AD⊥CD,AB=10,BC=20,∠A=∠C=30°.求:(1)∠ABC的度数
(2)AD和CD的长.
2.已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=120°.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线,分别交BC. AB于点M.N(保留作图痕迹,不写作法).
(2)猜想CM与BM之间有何数量关系,并证明你的猜想.
四、证明题(每题10分)
1.已知:如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD.
求证:D在∠BAC的平分线上.
2. 已知:如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使 CE = CD.
求证:BD = DE.
五、(本题11分)
阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.
已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,
且∠BAE=∠CDE.
求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.
现给出如下三种添加辅助线的方法提示,请任意选择其中一种,对原题进行证明.
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教师们在面对即将到来单元检测要如何准备呢?接下来是读文网小编为大家带来的八年级数学图形的证明单元测试题,供大家参考。
一、选择题(每题3分,共24分)
l、下列判定正确的是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.两角相等的四边形是等腰梯形
C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
2、用两个全等的直角三角形拼下列图形:①平行四边形(不包含菱形、矩形、矩形、正方形);
②矩形;③正方形;④等腰三角形,一定可以拼成的图形是 ( )
A.①② B.②④ C.②③ D.①②④
3、下列句子中,不是命题的是 ( )
A.三角形的内角和等于180度: B.对顶角相等;
C.过一点作已知直线的垂线; D.两点确定一条直线.
4、已知下列命题:①相等的角是对顶角;②互补的角就是平角;③互补的两个角一定是一 个锐角,另一个为钝角;④平行于同一条直线的两直线半行;⑤邻补角的半分线互相垂 直.其中,真命题的个数为 ( )
A.0 B.1个 C.2个 D.3个
5、下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.直角都相等 B.如果x2+y2=0,那么x=y=0
C.钝角都小l800 D.对顶角相等
6、如图,直线,l1∥l2,l3⊥l4.有三个命题:①∠l+∠3=900;②∠2+∠3=900;③∠2≠∠4.下列说法中,正确的是 ( )
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和③正确 D.①②③都正确
7、如下图左:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于 ( )
A.1800 B.3600 C.5400 D.7200
8、如图所示,AM是△ABC的角平分线,N为BM 的中点,NE∥AM交AB于点D,交CA的延长线于点E,下列结论中正确的是 ( )
A.BM=MC B.AE=BD C.AM=DE D.DN=BN
二、填空题(每题3分,共24分)
9、命题:等角的补角相等的条件是__________________结论是__________________
10、命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________。
这个逆命题是__________________命题(填“真”或“假”)
11、举反例说明命题是假命题:同旁内角互补。__________________。
l2、某参观团依据下列约束条件,从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点:
(1)如果去A地,那么也必须去B地: (2)D、E两地至少去一处;
(3)B、C两地只去一处; (4)C、D两地都去或都不去;
(5)如果去E地,那么A、D两地也必须去
依据上述条件,你认为参观团只能去__________________.
13、命题“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”的条件是:__________________结论是:__________________.
14、如图所示,直线AB、CD被直线EF所截,若∠l=∠2,则∠AEF=∠CFE=_______度.
15、∠l、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角,则∠l+∠2+∠3=__________.
16、如图,Rt△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,BD平分∠CBE,则∠ADB=______0.
三、解答题(本大题共52分)
l7、(本题6分)请把下面证明过程补充完整:
已知:如图,DE∥BC,平分∠ABC.
求证:∠l=∠3.
证明:因为BE平分∠ABC(已知),
所以∠l=_________( ).
又因为DE∥BC(已知),
所以∠2=___________( ).
所以∠l=∠3( ).
18、(本题8分)将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式。
(I)能被2整除的数也能被4整除; (2)相等的两个角是对顶角;
(3)若xy=0,则x=0; (4)角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
19、(本题8分)如图:
(1)画△ABC的外角∠BCD,再画∠BCD的平分线CE.
(2)若∠A=∠B,请完成下面的证明:
已知:△ABC中,∠A=∠B,CE是外角∠BCD的平分线
求证:CE∥AB
20、(本题10分)请阅读下面的材料,并回答所提出的问题。
三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知:如图,△ABC中,AD是角平分线,求证: =
分析:要证 = ,一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、 AB与DC、AC所在的三角形相似。现在B、D、C在一直线上,△A BD与△A DC不相似,需要考虑用别的方法换比。
在比例式 = 中,AC恰是BD、DC、AB的第四比例项,所以考虑过C作CE∥AD,交BA的延长线于E,从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE,这样,证明 = 就可以转换为证AE=AC。
(1)证明:过C作CE∥DA,交BA的延长线于E。(完成以下证明过程)
∵AE=AC ( )
∴△BAD ∽ △BEC ∴ = ( )
∴ =
(2)用三角形内角半分线性质定理解答问题:已知:如图,
∆ABC中,AD是角平分线,AB=5cm,AC=4cm,
BC=7cm.求:BD的长。
21. (本题l0分)如图,在△ABE和△ACD中,给出以下四个论断:①AB=AC;②AD=AE; ③AM=AN;④AD┴DC,AE┴BE.
(1)以其中三个论断为条件,填入下面的“已知”栏中,一个论断为结论,填入下面的“求证”栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程。
已知: 如图, 在△ABE和△ACD中,______________________,求证:___________________________.
证明:
(2)你能用序号再写一个真命题吗?书写形式如:
如果_______________________________,
那么_______________________________。不用证明。
22、(本题l0分)取一副三角板按图①拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小a的角(00<0≤450得到△ABC,如图②所示。试问:
(1)当a为多少度时,能使得图②中AB∥CD?
(2)当旋转至图③位置,此时a又为多少度? 图③中你能找出哪几对相似三角形,并求其中一对的相似比。
(3)连结BD,当00<0≤450时,探寻么∠DBC+∠CAC+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明。
参考答案
1. C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.B
9.两个角相等,它们的补角相等. 10.对角线相等的四边形矩形,假.
11.如:三角形相邻的两个角.
12.B 13.四边形的对角线相等,四边形是平行四边形.
14.180° 15.360° 16.45° 17.略
18.(1)如果一个数能被2整除,那么这个数也能被4整除(2)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角(3)如果xy=0,那么x=0(4)如果一个点在角平分线上,那么这个点到这个角两边的距离相等.
19.略
20.(1)∴∠1=∠ ,∵ ,∴∠1=∠2,∴∠2=∠ ,∴ (等角对等边), ∵ ,∴△BAD∽△BEC ,∴ (相似三角形对应边成比例), ∴ .(2)
21.已知:AB=AC,AD=AE,AD⊥DC,AE⊥BE.求证:AM=AN.(2)如果:②③④,那么①.
22(1)15°(2)30°,2对, (3)90°.
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1.下列语句中,属于定义的是 ( ).
(A)直线AB和CD垂直吗
(B)过线段AB的中点C画AB的垂线
(C)数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数
(D)同旁内角互补,两直线平行
2.下列命题中,属于真命题的是 ( )
(A)若一个角的补角大于这个角 (B)若a∥b,b∥c,则a∥c
(C)若a⊥c,b⊥c,则a∥b (D)互补的两角必有一条公共边
3.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( ).
(A)垂直 (B)两条直线
(C)同一条直线 (D)两条直线垂直于同一条直线
4.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的例子是( )
(A)∠1=50°,∠2=40° (B)∠1=50°,∠2=50°
(C)∠1=∠2=45° (D)∠1=40°,∠2=40°
5.已知△ABC的三个内角度数比为2:3:4,则这个三角形是 ( ).
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
6.在三角形的内角中,至少有 ( )
(A)一个钝角 (B)一个直角 (C)一个锐角 (D)两个锐角
7.若等腰三角形的一个外角为110°,则它的底角为( ).
(A)55° (B)70° (C)55°或70° (D)以上答案都不对
8.若三角形的三个外角的度数之比为2:3:4,则与之对应的三个内角的度数之比为 ( ).
(A)4:3:2 (B)3:2:4 (C)5:3:1 (D)3:1:5
9.如图,在锐角△ABC中,CD和BE分别是AB和AC边上的高,且CD和BE交于点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是 ( ).
(A)150° (B)130° (C)120° (D)100°
10.如图6所示,△ABC与△BDE都是等边形,AB<BD.若△ABC不动,将△BDE绕点B旋转,则在旋转过程中,AE与CD的大小关系为 ( )
A.AE=CD B.AE>CD C.AE<CD D.无法确定
二、填空题(每题3分,共24分)
1.在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么_______.
2.判断角相等的定理(写出2个) ,
。
3.判断线段相等的定理(写出2个) ,
。
4.命题“同旁内角互补”中,题设是 ,结论是 .
5.填空使之成为一个完整的命题。
(1)若a⊥b,b∥c,则 .
(2)若 ,则这两个角互补。
(3)若a∥b,b∥c,则 。
6.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式。
(1)锐角小于90o。答: 。
(2)两点确定一条直线。答: 。
(3)相等的角是对顶角。答: 。
(4)全等三角形的对应角相等,对应边相等。答: .
(5)垂直于同一条直线的两条直线平行。答:
(6)直角都相等。答:
7.三角形两边的长分别为5和7,则最短边长的取值范围是 .
8.在△ABC中,∠B=45°,∠C=72°,那么与∠A相邻的一个外角等于______.
9.在直角三角形中,两个锐角的差为20°,则两个锐角的度数分别为_____.
10.如图,已知∠BDC=142°,∠B=34°,∠C=28°,则∠A=________.
11.如图,已知DB平分∠ADE,DE∥AB,∠CDE=82°,则∠EDB=_____,∠A=_____.
12.在四边形ABCD中,AC是对角线.下列三个条件:
①∠BAC=∠DAC;②BC=DC;③AB=AD.请将其中的两个作为已知条件,另一个作为结论构成一个真命题:如果__________________________________,
那么_________________________________________.
三、解答题
1.(本题9分)求证(填空):两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角不互补,那么这两条直线不平行.
已知:如图,直线 被 所截,∠1+∠2____180°.
求证: _______.
证明:假设 ,
则∠1+∠2____180°( )
这与______________矛盾,故_________不成立.
所以____________________________________.
3、填空(每空1分,共13分)
已知:如图12,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,交AB于G,交CA延长线于E,∠1=∠2.
求证:AD平分∠BAC,填写分析和证明中的空白.
分析:要证明AD平分∠BAC,只要证明__________=____________,
而已知∠1=∠2,所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系,由已知BC的两条垂线可推出________∥_________,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论.
证明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴________∥_________( )
∴_______=________(两直线平行,内错角相等),
________= (两直线平行,同位角相等)
∵ (已知)
∴______________即AD平分∠BAC( )
20.(本题7分)已知如图,在△ABC中,CH是外角∠ACD的角平分线,BH是∠ABC的平分线, ∠A=58°.求∠H的度数.
2.(本题8分)求证:等腰三角形两腰上的高相等。
21. 如图,AB=AE,AC=AD,要使EC=BD,需添加一个什么条件?
请你添加一个条件,请说明理由.
22.(本题8分)观察右边各式:
想一想:什么样的两个数之积等于这两个数的和?
设n表示正整数,用关于n的代数式表示这个规律:
_______×_______=_______+________.
你能说明理由吗?
23.(本题10分)如图(1):已知等腰直角三角形ABC中,∠ACB= ,直线 经过点C,AD⊥ ,BE⊥ ,垂足分别为D、E。
(1)证明ΔACD≌ΔCBE;(5分)
(2)如图2,当直线 经过ΔABC内部时,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由。(5分)
25.(6分)阅读理解题:
(1)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,且AD= BC.
求证:∠BAC=90°.
证明:∵AD= BC,BD=CD= BC,
∴AD=BD=DC,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°.
(2)此题实际上是直角三角形的另一个判定定理,请你用文字语言叙述出来.
(3)直线运用这个结论解答题目:一个三角形一边长为2,这边上的中线长为1,另两边之和为1+ ,求这个三角形的面积.
20、如图在ΔABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F
⑴求证:AE=CF(6分)
⑵是否还有其他结论,不要求证明(至少2个,4分)
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八年级下第十一章 证明(一) 练习
姓名 成绩
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是 ( )
A.只需观察得出 B.只需依靠经验获得 C.通过亲自实验得出 D.必须进行有根据地推理
2.通过观察你能肯定的是 ( )
A.图形中线段是否相等 B.图形中线段是否平行 C.图形中线段是否相交 D.图形中线段是否垂直
3.下列问题用到推理的是 ( )
A.根据x=1,y=1 得x=y B.观察得到四边形有四个内角
C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘 D.由公理知道过两点有且只有一条直线
4.下列句子中,是命题的是 ( )
A.今天的天气好吗 B.作线段AB∥CD C.连结A、B两点 D.正数大于负数
5.下列命题是真命题的是 ( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角 B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2=b2,那么a=b D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等
6.判断下列命题:①等腰三角形是轴对称图形;②若a1且b1,则a+b③全等三角形对应角的平分线相等;④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
7.已知下列四个命题:(1)若直角三角形的两边长分别是3与4,则第三边长是5;(2) ;(3)若点P(a,b)在第三象限,则点Q(-a,-b)在第一象限;(4)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等,其中正确的选项是 ( )
A.只有(1)错误,其他正确 B.(1)(2)错误,(3)(4)正确
C.(1)(4)错误,(2)(3)正确 D.只有(4)错误,其他正确
8.如图,如果AB∥CD,则角、、之间的关系式为 ( )
A.++=360
B.-+=180
C.++=180
D.+-=180
二、填空题(每小题4分,共28分)
9.将命题内错角相等写成如果,那么的形式为 ,
它的逆命题是__________ ______ __ _.
10. 命题两条对角线互相平分的四边形是平行四边形的条件是:___________ _____,
结论是:_____________ ______.
11.已知1、2、3分别是△ABC的3个外角,则2+3=_______.
12. 如图,已知BDC=1420,B =340,C=280,则A= .
13.有一正方体,将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f。有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图,问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母,即a的对面为 ,b的对面为 ,
c的对面为 .
14.某参观团依据下列约束条件,从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点:
(1)如果去A地,那么也必须去B地; (2)D、E两地至少去一处;
(3)B、C两地只去一处; (4)C、D两地都去或都不去;
(5)如果去E地,那么A、D两地也必须去。
依据上述条件,你认为参观团只能去__________________。
15.如图,已知DB平分ADE,DE∥AB,CDE=82,则EDB= ,A= .
三、解答题(每小题10分,共40分)
16.请把下面证明过程补充完整:
已知:如图,DE∥BC,BE平分ABC.求证:3.
证明:因为BE平分ABC(已知),
所以1=___ ___( ).
又因为DE∥BC(已知),
所以2=__ ___( ).
所以3( ).
17.如图:A=65,ABD=DCE=30,且CE平分ACB,求BEC.
18. 已知如图,在△ABC中,CH是外角ACD的角平分线,BH是ABC的平分线, A=58.求H的度数.
19.对于同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断:(1)a∥b;(2)b∥c;(3)a(4)a∥c;(5)ac,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个正确的命题(至少写出5个),并选择其中一个命题,画出图形,给出证明.
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证明题是8年级下册数学学习中的一块比较重要的内容。接下来是读文网小编为大家带来的8年级下册数学证明题的习题,供大家参考。
1.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,AP平分∠BAC,且BP⊥AP,垂足为点P。若AB=10,AC=14,则PM的长为( )。
解:延长BP交AC于D,
因为AP平分∠BAC,且BP⊥AP,
所以AP是等腰三角形ABD底边上的中线
CD=AC-AD=14-10=4,
因为点M是BC的中点,
所以PM是三角形BCD的中位线,
所以PB=CD/2=4/2=2
所以PB=2
2.如图,在直角三角形ABC中,已知角ACB是90°,且CH⊥AB,HE⊥BC,HF⊥AC.求证:1.△HEF≌△EHC, 2.三角形HEF∽△HBC.,
∵HE⊥BC,HF⊥AC,∠ACB=90° ∴CFHE是矩形 ∴CE=FH, ∵∠CEH=∠EHF,EH=EH ∴△HEF≌△EHC ∵△HEF≌△EHC ∴∠EFH=∠ECH=∠BCH ∵∠BHC=∠EHF=90° ∴△HEF∽△HBC.
3.如图,在△ABC中,∠BAC是钝角.
画出:(1)∠ABC的平分线;
(2)边AC上的中线;
(3)边AC上的高.
4.如图所示,AB=AC,AC上一点D在AB的垂直平分线上,若△ABC的周长为16cm,△BCD的周长为10cm,则AB的长为.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC,若AD=6cm,则AC=.
6.等腰三角形的一腰长为10cm,底角为15°,则一腰上的高等于.
7.如图,已知AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AC于D,求∠DBC的度数.
8.(本题11分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,
求证:点A在∠CDE的平分线上.
9.(本题12分)如图,AC=DB,∠A=∠D,AB、CD交于点P
求证:(1)PA=PD;
(2)点P到OA、OD的距离相等;
10.如图:∠A=65º,∠ABD=∠DCE=30º,且CE平分∠ACB,求∠BEC.
11.. 已知如图,在△ABC中,CH是外角∠ACD的角平分线,BH是∠ABC的平分线, ∠A=58°.求∠H的度数.
12.对于同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断:(1)a∥b;(2)b∥c;(3)a⊥b;(4)a∥c;(5)a⊥c,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个正确的命题(至少写出5个),并选择其中一个命题,画出图形,给出证明.
如图:A=65,ABD=DCE=30,且CE平分ACB,求BEC.
13. 已知如图,在△ABC中,CH是外角ACD的角平分线,BH是ABC的平分线, A=58.求H的度数.
14.对于同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断:(1)a∥b;(2)b∥c;(3)a(4)a∥c;(5)ac,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个正确的命题(至少写出5个),并选择其中一个命题,画出图形,给出证明.
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一.单项选择题(共8小题,每小题6分,共48分)
1. 下列语句中不是命题的是( )
A.若a+b=b+c,则a=bB.两条直线平行没有公共点
C.延长直线ABD.我爱八年级一班
2. 下列命题中正确的是( )
A.若a•b>0,则a>0,b>0B.a•b<0,则a<0,b<0
C.a•b=0,则a=0,b=0 D a•b=0,则a=0或b=0
3. 举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,错误的是( )
A.设这个角是450,它的余角是450,但450=450
B.设这个角是600,它的余角是300但300<600
C.设这个角是300,它的余角是600但300<600
D.设这个角是500,它的余角是400但400<500
4. 下列推理正确的是( )
A如果a>b,b>c,则a>c B 若a>b,则ac>bc
C因为∠AOB=∠BOC,所以∠AOB与∠BOC是对顶角
D因为两角的和是1800,所以两角互为邻补角
5. 下列说法正确的是( )
A 每个命题都有逆命题 B 每个定理都有逆定理
C 所有的命题都是定理 D 假命题的逆命题是假命题
6. 如图∠BAD=∠BCD=900,AB=CD,可以证明△BAD≌△BCD的理由是( )
A.HL B ASA C SAS D AAS
7. 下列命题宜用反证法证明的是 ( )
A 等腰三角形两腰上的高相等,B 有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形 C 两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行
D 全等三角形的面积相等
8.在证明“在△ABC中至少有一个角是直角和钝角”时,的一步应假设( )
A三角形至少有一个角是直角或钝角
B三角形中至少有两个直角或钝角
C三角形中没有直角或钝角
D三角形中三个角都是直角或钝角
二、 填空题(共4小题,每小题6分,共24分,只要求填写结果)、
9.如图,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别是D、E,BE、CD交于点O,且AO平分
∠BAC,那么图中全等三角形共有对
10. 已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,CE=1, 把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为。
11.利用反证法证明“在△ABC中,∠A>∠B,求证:BC>AC"是,第一步应假设: 。
12. 如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条件是
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初二数学中的证明题能比较全面的反映学生的分析问题和解决问题的能力.初二数学证明题有哪些呢?接下来是读文网小编为大家带来的初二数学d 证明题,供大家参考。
1、如图,AB=AC,∠BAC=90°,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.且BD>CE
,证明BD=EC+ED
.解答:证明:∵∠BAC=90°,CE⊥AE,BD⊥AE,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠DAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°.
∴∠ABD=∠DAC.
又∵AB=AC,(
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD=AE,EC=AD.
∵AE=AD+DE,
∴BD=EC+ED.
2、△ABC是等要直角三角形。∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C做AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证∠ADC=∠BDE
解:作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.
又∵中点D,
∴CD=BD.
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH.
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠PAH=∠PCF.
又∵∠APH=∠CEH,
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH(ASA).
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB.
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,
∴△PDC≌△EDB(SAS).
∴∠ADC=∠BDE.
2
证明:作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
∵∠3=∠4,
∴OE=OF. (问题在这里。理由是什么埃我有点不懂)
∵∠1=∠2,
∴OB=OC.
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).
∴∠5=∠6.
∴∠1+∠5=∠2+∠6.
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形
过点O作OD⊥AB于D
过点O作OE⊥AC于E
再证Rt△AOD≌ Rt△AOE(AAS)
得出OD=OE
就可以再证Rt△DOB≌ Rt△EOC(HL)
得出∠ABO=∠ACO
再因为∠OBC=∠OCB
得出∠ABC=∠ABC
得出等腰△ABC
4.1.E是射线AB的一点,正方形ABCD、正方形DEFG有公共顶点D,问当E在移动时,∠FBH的大小是一个定值吗?并验证
(过F作FM⊥AH于M,△ADE全等于△MEF证好了)
2.三角形ABC,以AB、AC为边作正方形ABMN、正方形ACPQ
1)若DE⊥BC,求证:E是NQ的中点
2)若D是BC的中点,∠BAC=90°,求证:AE⊥NQ
3)若F是MP的中点,FG⊥BC于G,求证:2FG=BC
3.已知AD是BC边上的高,BE是∠ABC的平分线,EF⊥BC于F,AD与BE交于G
求证:1)AE=AG(这个证好了) 2)四边形AEFG是菱形
4.,在四边形ABCD中,AB=DC,∠B=∠C<90 ,求证:四边形ABCD是梯形.
证明:
5.如图:在大小为6×5的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请解答下列问题:
(1)在图中画一个△DEF ,使△DEF∽△ABC(相似比不为1),要求点D,E,F必须在单位正方形的顶点上(可以使用已用过的顶点);
(2)写出它们对应边的比例式;并求△DEF与△ABC的相似比.
6. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD。
7.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:CD=1/2AB.
8. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2.
9.如图:AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:MB=MC
10.如图,给出五个等量关系:① AD=BC ②AC=BD ③CE=DE ④∠D=∠C ⑤ ∠DAB=∠CBA.
请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
11.如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。
12.如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:AE=DE.
13.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,
求证:∠ADC=∠BDE.
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在课程即将结束之际,教师们要如何准备检测题呢?接下来是读文网小编为大家带来的八年级数学证明同步检测试题,供大家参考。
一.选择题:(每小题3分,共45分)
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为()
(A)60°(B)120°(C)60°或150°(D)60°或120
2.已知等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为()
(A)12或9(B)12 (C)9(D)7
3.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于()
(A)44°(B)68° (C)46° (D)22°
4.如图(1),已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC,将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是()
(A)1 (B)2(C)3 (D)4
5.如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D处测得标志物的仰角为45°,若点D到电线杆底部点B的距离为a,则电线杆AB的长可以表示为()
(A)a(B)2a(C) a (D) a
6.如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,E为AD上任意一点,过C作CF∥AB交BE的延长线于F,交AC于G,连接CE,下列结论中正确的有()
①AD平分∠BAC
②BE=CF
③BE=CE
④若BE=5,GE=4,则GF=
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
7.下列命题中的假命题是()
(A)有一个角为60°的等腰三角形一定是等边三角形
(B)有一个角为45°的等腰三角形一定是等腰直角三角形
(C)等腰三角形一腰上的高与底边夹角等于顶角的一半
(D)等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半
8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AD⊥BC于D,若BD=a,则CD等于()
(A)2a(B) (C)3a(D)
9.不能使两个直角三角形全等的条件是()
(A)一条直角边及其对角对应相等(B)斜边和一条直角边对应相等
(C)斜边和一锐角对应相等(D)两个锐角对应相等
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,BC=BD,如果AC=3cm,那么AE+DE等于()
(A)2cm(B)3cm(C)4cm(D)5cm
11.具备下列条件的两个三角形,可以证明它们全等的是()
(A)一边和这边上的高对应相等(B)两边和第三边上的中线对应相等
(C)两边和其中一边的对角对应相等(D)直角三角形的斜边对应相等
12.下列命题中,假命题是()
(A)两个全等三角形的对应高相等(B)三个角对应相等的两个三角形全等
(C)顶角和一腰对应相等的两个等腰三角形全等
(D)一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等
13.如图,△ABC是等边三角形,AD是高,并且AB恰好是DE的垂直平分线,则下列结论正确的是()
(A)△ABC≌△AED(B)△AED是等边三角形
(C)∠EAB=60°(D)AD>DE
14.如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD,则下列结论正确的是()
(A)△CDE是等边三角形(B)DE=AB
(C)点D在线段BE的垂直平分线上(D)点D在AB的垂直平分线上
15.如图,在Rt△ABC中,过直角边AC上的一点P,作直线交AB于点M,交BC的延长线于点N,且∠APM=∠A,则下列说法正确的是()
(A)点M在BN的垂直平分线上(B)∠A=∠N
(C)PN=AP(D)点N在BM的垂直平分线上
二.填空题:(每小题3分,共36分)
1.已知等腰三角形的一个内角是100°,则其余两个角的度数分别是.
2.如图,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=.
3.等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm,则它的周长是cm.
4.如图,等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD=.
5.等腰直角三角形的斜边长为 ,则此三角形的腰长为.
6.如图,BD=AD=AE,且∠B=∠C=36°,则图中有等腰三角形个.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥AB,则图中有等腰三角形个.
8.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,AC=12cm,则CD=.
9.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,AD∥BC,则图中等腰三角形共有个.
10.如图所示,AB=AC,AC上一点D在AB的垂直平分线上,若△ABC的周长为16cm,△BCD的周长为10cm,则AB的长为.
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC,若AD=6cm,则AC=.
12.等腰三角形的一腰长为10cm,底角为15°,则一腰上的高等于.
三.解答题:(共31分)
1.(本题8分)如图,已知AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AC于D,求∠DBC的度数.
2.(本题11分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,
求证:点A在∠CDE的平分线上.
3.(本题12分)如图,AC=DB,∠A=∠D,AB、CD交于点P
求证:(1)PA=PD;
(2)点P到OA、OD的距离相等;
(3)点P在∠AOD的平分线上.
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八年级数学下册第一章三角形的证明的知识你都学会了吗?同学们要如何应对接下来的单元测试呢?接下来是读文网小编为大家带来的八年级数学下册第一章三角形的证明的测试题,供大家参考。
一、选择题(每题3分,共24分)
1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形( )的交点.
A. 三个内角平分线 B. 三边垂直平分线 C. 三条中线 D. 三条高
2.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm,则△ABC的面积 是( )
A.24cm2 B.30cm2 C.40cm2 D.48cm2
3.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝,则该等腰三角形的周长是( )
A.7㎝ B.9㎝ C.12㎝或者9㎝ D.12㎝
4. 面积相等的两个三角形( )
A.必定全等 B.必定不全等 C.不一定全等 D.以上答案都不对
5.一个等腰三角形的顶角是40°,则它的底角是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
6. 如图,在△ABC和△DEF中,已知AC=DF,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要的条件是( )
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D
7.如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD, 则∠A的度数为( )
A.30° B.36° C.45° D.70°
8.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论X k B 1 . c o m
①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每题3分,共24分)
9.“等边对等角”的逆命题是______________________________.
10.已知⊿ABC中,∠A = ,角平分线BE、CF交于点O,则∠BOC = .
11.如果等腰三角形的有一个角是80°,那么顶角是 度.
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,腰长为6,则其底边上的高是 。
13.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30° ,BD平分∠ABC交AC于D,若CD=2cm,则AC= .
14.Rt⊿ABC中,∠C=90º,∠B=30º,则AC与AB两边的关系是 ,
15.在△ABC中,边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P,则PA、PB、PC的大小关系是 .
16.在△ABC中,∠A=40°,AB=AC ,AB的垂直平分线交AC与D,则∠DBC的度数为.
三.基础题(每题6分,共36分)
17.如图,在△ABD和△ACD中,已知AB=AC,∠B=∠C,求证:AD是∠BAC的平分线.
18.如图,∠A=∠D=90°,AC=BD.求证:OB=OC;
19.如下图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:CD=CB.
20.如图,DC⊥CA,EA⊥CA, CD=AB,CB=AE.求证:△BCD≌△EAB.
21.如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD. 求证:D在∠BAC的平分线上.
22.如图,中,是腰的垂直平分线,求的度数。
四、提高题(每题8分,共16分)
23.作图题:在下图△ABC所在平面中,
(1)作距△ABC三边距离相等的点P; (2)作距△ABC三个顶点距离相等的点Q.
24. 如图,△ABC中,∠B=90°,AB=BC,AD是△ABC的角平分线,若BD=1,求DC的长.
五.综合题(每题10分,共20分)
25.如图,已知: D是△ABC中BC边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE,求证:∠BAE=∠CAE.
证明:在△AEB和△AEC中,
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问:上面证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理根据;若不正确,请指出错在哪一步?并写出你认为正确的推理过程;
26.如图,在△ABD和△ACE中,有四个等式:①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE.
以其中三个条件为已知,填入已知栏中,一个为结论,填入下面求证栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程。
已知: .
求证: .
证明:
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