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初三数学二次函数练习题大全
初三数学二次函数是一个重要的数学概念,它的一般形式为y=ax^2+bx+c。二次函数的图像是一个抛物线,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),对称轴为x=-b/2a。
二次函数的对称轴公式是x=-b/2a。其中,a表示的是二次函数y=ax^2+bx+c的二次项系数,b是一次项系数,但当二次函数是顶点式y=a(x-h)^2+k时,其对称轴公式是x=h。
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中考冲刺数学知识点有哪些呢?接下来是读文网小编为大家带来的关于初三数学备战中考知识点大全,希望会给大家带来帮助。
三、常用数学公式
公式分类 公式表达式
乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a
-b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a 注:韦达定理
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB
注:角B是边a和边c的夹角
初中几何常见辅助线作法歌诀汇编
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
半径与弦长计算,弦心距来中间站。
圆上若有一切线,切点圆心半径连。
切线长度的计算,勾股定理最方便。
要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。
弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
圆周角边两条弦,直径和弦端点连。
弦切角边切线弦,同弧对角等找完。
要想作个外接圆,各边作出中垂线。
还要作个内接圆,内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。
内外相切的两圆,经过切点公切线。
若是添上连心线,切点肯定在上面。
要作等角添个圆,证明题目少困难。
辅助线,是虚线,画图注意勿改变。
假如图形较分散,对称旋转去实验。
基本作图很关键,平时掌握要熟练。
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在没一次考试结束后,要懂得反思,接下来是读文网小编为大家带来的初三数学期中考试反思,供大家参考。
在刚刚结束的期中考试中,我们初三年级c班的数学试卷并不难,我班数学平均分为90分。在这次考试中,原本一些不及格的学生,数学成绩却考到了60分以上,主要的原因:其一是他们自身的努力,其二是降低了试卷的难度。从学生答题情况来看,基础知识掌握得较好,概念理解得较透彻,计算题和解方程的准确率较高,但部分学生理解能力较差,应用题审题不清,导致出现不少错误。几何证明题分析问题的思路上不去,分析问题的方法掌握得不够好。另外,部分学生学习习惯较差,接受能力较差,碰到思维力度较强的题目就无法解答。在今后的教学中,要特别注重对发展不理想学生的辅导,注重对学生理解能力、分析问题解决问题能力的培养。
在今后的教学中,我要在以下几个方面多下功夫:
一、树立每一位学生学习的自信心,培养学生的学习兴趣,正确的学习方法。
引导学生逐渐认识实际生活中的问题。如结合信息科技,为学生创设熟悉的教学情境,让学生认识到生活中处处存在数学问题,数学来源于生活又应用于生活,激发学生学习数学的兴趣和认识学习数学的必要性,调动学生学习数学的主观能动性。
二、指导学生解决问题时,要留给学生思考的余地。
学生用数学不是靠教师“教会”的,而是学生“想懂”的。古人云“授之以鱼不如授之以渔”。在解决实际问题中充分发挥学生灵活运用数学知识解决问题的能力,使学生的思维得到充分的发展。教学过程当中教师要注意让学生亲身感受数学的由来及关注知识的生成。
三、结合学生的基础和教学内容因材施教。
在教学中和学生经常沟通,了解学生的学习感悟,时刻调整自己的教学策略。
四、两手抓两手都要硬。
在提高课堂教学质量的同时,抓好学生的管理,特别是关注习惯差的学生。重视反馈环节,课后注意作业完成情况,集体性批阅与个别面批相结合。
“不是锤的敲打,而是水的抚摸,才使鹅卵石这般光滑剔透。”作为一个老师,如果在威严中不失宽容,多总结教学中的得与失,多找自身的原因,教育学生才会真正有效。
初三数学期中考试反思(二)
一、试题评价:
试题紧扣教材、课标、考试说明;知识点全、细、覆盖面广,重点突出,取舍合理;试题的设计数量合理,阅读量适中,呈现形式新,具有开放性,联系实际、日常生活、技术与社会,注重原题变式和改变;注重对“双基”和实验教学的考查,注重综合能力考查,注重用物理知识解决实际问题能力以及创新能力、探究性学习能力、分析计算能力、物理的学科素养的考查;但这份题过于注重基础,试题的区分度不大。
二、试题主要特点:
(1)面向全体,注重能力考查
此次测试,是以学生的发展为本,根据我市的教学实际,面向全体学生,努力使不同层面的学生都获得较理想的成绩。采取低起点、小坡度、广覆盖的命题原则,(如计算题)主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,适当考查学生分析解决问题的能力,(如对基本概念的考察)突出其水平测试功能,采用活用教材、注重探究、关注过程、开放创新的方式创设新题,(如11题)以此来考查学生灵活运用所学知识分析和解决问题的能力、实践与创新能力,体现其选拔功能。
(2)对教学的导向作用
考试的改革促进教学的改革,考试的改革促进课堂教学的改革。此次测试,做到“扣紧范围、活用教材、体现课改,联系实际、开放有度、着眼基础、注意能力、指导教学、有利创新”。对我校后期教学具有很好的向导作用。
(3)体现新课改精神
此次测试坚持稳中求变、变中求新,难度相对稳定。考查内容尊重学生的实际,关注学生今后发展所需要的最基础的物理知识和技能,重视知识之间的联系,如卷中第25题;试题的素材、内容方面体现考查学生物理科学素养(知识和技能、过程与方法、情感态度与价值观),如第10小题等;加强对实验探究为核心的科学探究活动和科学探究能力的考查,第20、21、22、23题等。
(4)探究创新,突出学科特色,联系实际,学以致用。此次试题中,联系社会实际、生活实际和现代科学的有第1、2、3、5题,体现了物理的价值在于运用到现实生活中去的真谛。这些紧密联系社会、日常生活和科技发展的物理知识,拓宽了学生的知识视野,激发了学生的学习兴趣和热情,增强了学生的社会责任感。
注重学习过程,引导学法。注重学习过程,寻求学习规律,学生在探究性学习过程中,改变过去强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象,不只是停留于单纯的知识的记忆,而是主动地参与知识的建构,并通过不断反思学习过程,悟出学习方法,学会学习。如第25题通过学生对所学物理知识的归纳,引导学生回味物理学习过程,悟法开窍。
三、答卷中主要问题的原因分析
1.基础知识和基本技能不扎实。表现在对物理语言表述不清;对物理公式不能正确理解;对物理概念混淆不清,如21题、24题,计算能力非常薄弱如6、25题;不会分析物理图像如6题等等。
2.实验基本技能差。
3.能力与方法问题。阅读理解、综合分析与归纳、语言表达、科学探究等能力较差,对物理学科中常用的科学方法不熟悉。表现在不会进行探究性学习;根据现象总结结论的能力较差;如21、22、23题。
4.用物理知识解决实际问题的能力较差。表现在不能根据所设计的问题情境,结合自身体验来思考问题,寻求解决问题的方法,如13题
5.语言表述不清楚,逻辑性较差,缺乏条理性。表现在不能用精练的、准确的语言来物理现象;回答问题不能抓住重点问题去阐述,不能答出关键点。如17、21、22题。
6.计算能力薄弱。
四、我的感受:
1、中考命题科学严谨规范,使得任何猜题押题的行为纯属徒劳。但我们如果能够在平时的教学中,集中精力研究“考试说明”并梳理其中的知识点,做到有的放矢,重点突出,是肯定能取得事半功倍的效果的。
2、命题依据新课程标准,逐步实现由以考察知识为主向以考查能力为主,在继续加强“双基”考查的同时,重视过程方法和情感态度价值观目标的考查;考试内容加强与社会实际的联系,增强问题的真实性和情景性,重视考查学生在真实情景中提出、研究、解决问题的能力和收集、整合、运用信息的能力,开放性、探究性题目出现并逐渐增多,考查学生个性,培养学生的独立思考、发散思维和创新能力,考试的难度逐步降低(一般控制在0.7左右),考查面越来越广,引导我们教学面向全体。
3、在教学过程中我认为教学起点不要过高,不可只注重能力拔高,忽视基础,忽视物理的双基教学;不可只注重资料,忽视教材研究,挖掘教材到位;不可只注重题海战术,着眼点放在做题选题上,忽视原题研究、变式和改变,忽视规律总结和学法总结;不可只注重复习的时间长短,忽视新授课中基础掌握和能力培养;忽视对考试说明、课标学习、研究和落实,平常的教学不可只注重知识的结果,忽视知识的发生、发展过程,忽视规范训练(物理用语规范、书写认真、语言科学规范、逻辑严密、答题条理、计算题解题步骤规范等)。
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基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分.接下来是读文网小编为大家带来的苏科版初三下册数学补充习题答案,供大家参考。
一、选择题
1.A2.D3.D4.D5.C6.B7.A8.B9.B10.D
二、填空题
11.312.13.-114.=
三、15.解:
==.
16.解:
四、17.方程另一根为,的值为4。
18.因为a+b=2++2-=4,a-b=2+-(2-)=2,
ab=(2+)(2-)=1
所以=
五、19.解:设我省每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得:
30%a(1+x)2=60%a,即(1+x)2=2
∴x1≈0.41,x2≈-2.41(不合题意舍去)。
∴x≈0.41。
即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。
20.解:(1)∵方程有实数根 ∴Δ=22-4(k+1)≥0
解得 k≤0,k的取值范围是k≤0(5分)
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=-2, x1x2=k+1
x1+x2-x1x2=-2 + k+1
由已知,得 -2+ k+1<-1 解得 k>-2
又由(1)k≤0 ∴ -2
∵ k为整数 ∴k的值为-1和0. (5分)
六、21. (1)由题意,得 解得
∴ (3分)
又A点在函数上,所以 ,解得 所以
解方程组 得
所以点B的坐标为(1, 2)(8分)
(2)当02时,y1
当1y2;
当x=1或x=2时,y1=y2. (12分)
七、22.解:(1)设宽为x米,则:x(33-2x+2)=150,
解得:x1=10,x2= 7.5
当x=10时,33-2x+2=15<18
当x=7.5时,33-2x+2=20>18,不合题意,舍去
∴鸡场的长为15米,宽为10米。(5分)(2)设宽为x米,则:x(33-2x+2)=200,
即x2-35x+200=0
Δ=(-35)2-4×2×200=1225-1600<0
方程没有实数解,所以鸡场面积不可能达到200平方米。(9分)
(3)当0
当15≤a<20时,可以围成一个长方形鸡场;
当a≥20时,可以围成两个长宽不同的长方形鸡场;(12分)
八、23.(1)画图(2分)
(2)证明:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF .
∴∠DAB=∠EAB ,∠DAC=∠FAC ,又∠BAC=45°,
∴∠EAF=90°.
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°∠F=∠ADC=90°.
又∵AE=AD,AF=AD
∴AE=AF.
∴四边形AEGF是正方形. (7分)
(3)解:设AD=x,则AE=EG=GF=x.
∵BD=2,DC=3
∴BE=2 ,CF=3
∴BG=x-2,CG=x-3.
在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2
∴( x-2)2+(x-3)2=52.
化简得,x2-5x-6=0
解得x1=6,x2=-1(舍去),所以AD=x=6. (12分)
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中考即将到来,教师们要如何准备试题供学们们参考呢?接下来是读文网小编为大家带来的初三年级下册数学知识点归纳总结,供大家参考。
1 二次函数及其图像
二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式
y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;
顶点式
y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] ;
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)
求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x是自变量,y是x的二次函数
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法还有因式分解法和配方法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意:草图要有 1本身图像,旁边注明函数。
2画出对称轴,并注明X=什么
3与X轴交点坐标,与Y轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的性质
轴对称
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
顶点
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,4ac-b^2;)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2;-4ac=0时,P在x轴上。
开口
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 ),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y轴交点的因素
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
抛物线与x轴交点个数
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在
{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
二次函数的性质
8.定义域:R
值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,
正无穷);②[t,正无穷)
奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数。
周期性:无
解析式:
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X
的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
26.2 用函数观点看一元二次方程
1. 如果抛物线 与x轴有公共点,公共点的横坐标是 ,那么当 时,函数的值是0,因此 就是方程的一个根。
2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。
26.3 实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
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初三期中考试即将到来,同学们要如何准备呢?接下来是读文网小编为大家带来的初三期中考试数学知识点整理,供大家参考。
正3边形:
内角 = 180度/3=60度
中心角 = 360度/3=120度
半径 = R
边长 = (3的平方根)*R
边心距 = R/2
周长 = 3*(3的平方根)*R
面积 = (3的平方根)*R * (3R/2) /2 =3*(3的平方根)/4 *(R的平方)
正4边形:
内角 = 180度/3=60度
中心角 = 360度/3=120度
半径 = R
边长 = (2的平方根)*R
边心距 = R/(2的平方根)
周长 = 4*(2的平方根)*R
面积 = 2*(R的平方)
正6边形:
内角 = (6-2)*180度/6=120度
中心角 = 360度/6=60度
半径 = R
边长 = R
边心距 = (3的平方根)/2*R
周长 = 6*R
面积 = 边心距*R*3 = 3*(3的平方根)/2*(R的平方)
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为即将到来的期末考试,教师们要如何准备呢?接下来是读文网小编为大家带来的初三上册期末数学试题,供大家参考。
一、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)
1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根
考点: 根的判别式.
分析: 求出b2﹣4ac的值,再进行判断即可.
解答: 解:x2﹣3x﹣5=0,
△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣5)=29>0,
所以方程有两个不相等的实数根,
故选A.
点评: 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用,注意:一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)①当b2﹣4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根,②当b2﹣4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,③当b2﹣4ac<0时,一元二次方程没有实数根.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,则sinA的值为()
A. B. C. D.
考点: 锐角三角函数的定义.
分析: 直接根据三角函数的定义求解即可.
解答: 解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,
∴sinA= = .
故选A.
点评: 此题考查的是锐角三角函数的定义,比较简单,用到的知识点:
正弦函数的定义:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.即sinA=∠A的对边:斜边=a:c.
3.若是某个几何体的三视图,则这个几何体是()
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
考点: 由三视图判断几何体.
分析: 由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状.
解答: 解:主视图和左视图都是等腰三角形,那么此几何体为锥体,由俯视图为圆,可得此几何体为圆锥.
故选:D.
点评: 本题考查的知识点是三视图,如果有两个视图为三角形,该几何体一定是锥,如果有两个矩形,该几何体一定柱,其底面由第三个视图的形状决定.
4.小丁去看某场电影,只剩下的六个空座位供他选择,座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号.若小丁从中随机抽取一个,则抽到的座位号是偶数的概率是()
A. B. C. D.
考点: 概率公式.
分析: 由六个空座位供他选择,座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号,直接利用概率公式求解即可求得答案.
解答: 解:∵六个空座位供他选择,座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号,
∴抽到的座位号是偶数的概率是: = .
故选C.
点评: 此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
5.△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,若C1为OC的中点,AB=4,则A1B1的长为()
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
考点: 位似变换.
专题: 计算题.
分析: 根据位似变换的性质得到 = ,B1C1∥BC,再利用平行线分线段成比例定理得到 = ,所以 = ,然后把OC1= OC,AB=4代入计算即可.
解答: 解:∵C1为OC的中点,
∴OC1= OC,
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,
∴ = ,B1C1∥BC,
∴ = ,
∴ = ,
即 =
∴A1B1=2.
故选B.
点评: 本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.注意:①两个图形必须是相似形;②对应点的连线都经过同一点;③对应边平行.
6.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点,若x1<0
A. y1<0
考点: 反比例函数图象上点的坐标特征.
专题: 计算题.
分析: 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ,y2=﹣ ,然后利用x1<0
解答: 解:∵A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点,
∴y1=﹣ ,y2=﹣ ,
∵x1<0
∴y2<0
R>故选B.
点评: 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.
7.AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于F.若AC=2,则OF的长为()
A. B. C. 1 D. 2
考点: 垂径定理;全等三角形的判定与性质.
分析: 根据垂径定理求出AD,证△ADO≌△OFE,推出OF=AD,即可求出答案.
解答: 解:∵OD⊥AC,AC=2,
∴AD=CD=1,
∵OD⊥AC,EF⊥AB,
∴∠ADO=∠OFE=90°,
∵OE∥AC,
∴∠DOE=∠ADO=90°,
∴∠DAO+∠DOA=90°,∠DOA+∠EF=90°,
∴∠DAO=∠EOF,
在△ADO和△OFE中,
,
∴△ADO≌△OFE(AAS),
∴OF=AD=1,
故选C.
点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,垂径定理的应用,解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长,注意:垂直于弦的直径平分这条弦.
8.在矩形ABCD中,AB
A. 线段EF B. 线段DE C. 线段CE D. 线段BE
考点: 动点问题的函数图象.
分析: 作BN⊥AC,垂足为N,FM⊥AC,垂足为M,DG⊥AC,垂足为G,分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论.
解答: 解:作BN⊥AC,垂足为N,FM⊥AC,垂足为M,DG⊥AC,垂足为G.
由垂线段最短可知:当点E与点M重合时,即AE< 时,FE有最小值,与函数图象不符,故A错误;
由垂线段最短可知:当点E与点G重合时,即AEd> 时,DE有最小值,故B正确;
∵CE=AC﹣AE,CE随着AE的增大而减小,故C错误;
由垂线段最短可知:当点E与点N重合时,即AE< 时,BE有最小值,与函数图象不符,故D错误;
故选:B.
点评: 本题主要考查的是动点问题的函数图象,根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键.
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
9.已知扇形的半径为3cm,圆心角为120°,则扇形的面积为3πcm2.(结果保留π)
考点: 扇形面积的计算.
专题: 压轴题.
分析: 知道扇形半径,圆心角,运用扇形面积公式就能求出.
解答: 解:由S= 知
S= × π×32=3πcm2.
点评: 本题主要考查扇形面积的计算,知道扇形面积计算公式S= .
10.在某一时刻,测得一根高为2m的竹竿的影长为1m,同时测得一栋建筑物的影长为12m,那么这栋建筑物的高度为24m.
考点: 相似三角形的应用.
分析: 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解.
解答: 解:设这栋建筑物的高度为xm,
由题意得, = ,
解得x=24,
即这栋建筑物的高度为24m.
故答案为:24.
点评: 本题考查了相似三角形的应用,熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键.
11.抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1.
考点: 二次函数的性质.
专题: 数形结合.
分析: 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 , ,于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.
解答: 解:∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),
∴方程组 的解为 , ,
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1.
故答案为x1=﹣2,x2=1.
点评: 本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣ , ),对称轴直线x=﹣ .也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题.
12.对于正整数n,定义F(n)= ,其中f(
n)表示n的首位数字、末位数字的平方和.例如:F(6)=62=36,F(123)=f(123)=12+32=10.规定F1(n)=F(n),Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如:F1(123)=F(123)=10,F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.
(1)求:F2(4)=37,F2015(4)=26;
(2)若F3m(4)=89,则正整数m的最小值是6.
考点: 规律型:数字的变化类.
专题: 新定义.
分析: 通过观察前8个数据,可以得出规律,这些数字7个一个循环,根据这些规律计算即可.
解答: 解:(1)F2(4)=F(F1(4))=F(16)=12+62=37;
F1(4)=F(4)=16,F2(4)=37,F3(4)=58,
F4(4)=89,F5(4)=145,F6(4)=26,F7(4)=40,F8(4)=16,
通过观察发现,这些数字7个一个循环,2015是7的287倍余6,因此F2015(4)=26;
(2)由(1)知,这些数字7个一个循环,F4(4)=89=F18(4),因此3m=18,所以m=6.
故答案为:(1)37,26;(2)6.
点评: 本题属于数字变化类的规律探究题,通过观察前几个数据可以得出规律,熟练找出变化规律是解题的关键.
三、解答题(共13小题,满分72分)
13.计算:(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用乘方的意义计算,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用零指数幂法则计算,最后一项利用负指数幂法则计算即可.
解答: 解:原式=﹣1+ ﹣1+2= .
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
14.△ABC中,AB=AC,D是BC中点,BE⊥AC于E,求证:△ACD∽△BCE.
考点: 相似三角形的判定.
专题: 证明题.
分析: 根据等腰三角形的性质,由AB=AC,D是BC中点得到AD⊥BC,易得∠ADC=∠BEC=90°,再加上公共角,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论.
解答: 证明:∵AB=AC,D是BC中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠ADC=∠BEC,
而∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE.
点评: 本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了等腰三角形的性质.
15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根,求代数式 的值.
考点: 一元二次方程的解.
专题: 计算题.
分析: 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m,原式分子利用平方差公式化简,将m2﹣2=3m代入计算即可求出值.
解答: 解:把x=m代入方程得:m2﹣3m﹣2=0,即m2﹣2=3m,
则原式= = =3.
点评: 此题考查了一元二次方程的解,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.抛物线y=2x2平移后经过点A(0,3),B(2,3),求平移后的抛物线的表达式.
考点: 二次函数图象与几何变换.
专题: 计算题.
分析: 由于抛物线平移前后二次项系数不变,则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c,然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组,解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式.
解答: 解:设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c,
把点A(0,3),B(2,3)分别代入得 ,解得 ,
所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3.
点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
17.在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A,B两点,A点的横坐标为2,AC⊥x轴于点C,连接BC.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P是反比例函数y= 图象上的一点,且满足△OPC与△ABC的面积相等,请直接写出点P的坐标.
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析: (1)把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标,代入反比例函数解析式可求得k,可求得反比例函数解析式;
(2)由条件可求得B、C的坐标,可先求得△ABC的面积,再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标.
解答: 解:
(1)把x=2代入y=2x中,得y=2×2=4,
∴点A坐标为(2,4),
∵点A在反比例函数y= 的图象上,
∴k=2×4=8,
∴反比例函数的解析式为y= ;
(2)∵AC⊥OC,
∴OC=2,
∵A、B关于原点对称,
∴B点坐标为(﹣2,﹣4),
∴B到OC的距离为4,
∴S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8,
∴S△OPC=8,
设P点坐标为(x, ),则P到OC的距离为| |,
∴ ×| |×2=8,解得x=1或﹣1,
∴P点坐标为(1,8)或(﹣1,﹣8).
点评: 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题,在(1)中求得A点坐标、在(2)中求得P点到OC的距离是解题的关键.
18.△ABC中,∠ACB=90°,sinA= ,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
考点: 解直角三角形;勾股定理.
专题: 计算题.
分析: (1)在△ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ,则可计算出AB=10,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5;
(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6,在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC,则S△BDC= S△ABC,即 CD•BE= • AC•BC,于是可计算出BE= ,然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解.
解答: 解:(1)在△ABC中,∵∠ACB=90°,
∴sinA= = ,
而BC=8,
∴AB=10,
∵D是AB中点,
∴CD= AB=5;
(2)在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,
∴AC= =6,
∵D是AB中点,
∴BD=5,S△BDC=S△ADC,
∴S△BDC= S△ABC,即 CD•BE= • AC•BC,
∴BE= = ,
在Rt△BDE中,cos∠DBE= = = ,
即cos∠ABE的值为 .
点评: 本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式.
19.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x2<0,且 >﹣1,求整数m的值.
考点: 根的判别式;根与系数的关系.
专题: 计算题.
分析: (1)由二次项系数不为0,且根的判别式大于0,求出m的范围即可;
(2)利用求根公式表示出方程的解,根据题意确定出m的范围,找出整数m的值即可.
解答: 解:(1)由已知得:m≠0且△=(m+2)2﹣8m=(m﹣2)2>0,
则m的范围为m≠0且m≠2;
(2)方程解得:x= ,即x=1或x= ,
∵x2<0,∴x2= <0,即m<0,
∵ >﹣1,
∴ >﹣1,即m>﹣2,
∵m≠0且m≠2,
∴﹣2
∵m为整数,
∴m=﹣1.
点评: 此题考查了根的判别式,一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0.
20.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,据调查显示,每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示(其中x为正整数,且1≤x≤10);
质量档次 1 2 … x … 10
日产量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润(万元) 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控,此工厂每天只生产一个档次的产品,当生产质量档次为x的产品时,当天的利润为y万元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)工厂为获得最大利润,应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的最大值.
考点: 二次函数的应用.
分析: (1)根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式;
(2)由(1)的解析式转化为顶点式,由二次函数的性质就可以求出结论.
解答: 解:(1)由题意,得
y=(100﹣5x)(2x+4),
y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整数);
答:y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400;
(2)∵y=﹣10x2+180x+400,
∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.
∵1≤x≤10的整数,
∴x=9时,y最大=1210.
答:工厂为获得最大利润,应选择生产9档次的产品,当天利润的最大值为1210万元.
点评: 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用,二次函数的解析式的运用,顶点式的运用,解答时求出函数的解析式是关键.
21.四边形ABCD是平行四边形,点A,B,C在⊙O上,AD与⊙O相切,射线AO交BC于点E,交⊙O于点F.点P在射线AO上,且∠PCB=2∠BAF.
(1)求证:直线PC是⊙O的切线;
(2)若AB= ,AD=2,求线段PC的长.
考点: 切线的判定;勾股定理;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)首先连接OC,由AD与⊙O相切,可得FA⊥AD,四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,然后由垂径定理可证得F是 的中点,BE=CE,∠OEC=90°,又由∠PCB=2∠BAF,即可求得∠OCE+∠PCB=90°,继而证得直线PC是⊙O的切线;
(2)首先由勾股定理可求得AE的长,然后设⊙O的半径为r,则OC=OA=r,OE=3﹣r,则可求得半径长,易得△OCE∽△CPE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得线段PC的长.
解答: (1)证明:连接OC.
∵AD与⊙O相切于点A,
∴FA⊥AD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴FA⊥BC.
∵FA经过圆心O,
∴F是 的中点,BE=CE,∠OEC=90°,
∴∠COF=2∠BAF.
∵∠PCB=2∠BAF,
∴∠PCB=∠COF.
∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°,
∴∠OCE+∠PCB=90°.
∴OC⊥PC.
∵点C在⊙O上,
∴直线PC是⊙O的切线.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=2.
∴BE=CE=1.
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB= ,
∴ .
设⊙O的半径为r,则OC=OA=r,OE=3﹣r.
在Rt△OCE中,∠OEC=90°,
∴OC2=OE2+CE2.
∴r2=(3﹣r)2+1.
解得 ,
∵∠COE=∠PCE,∠OEC=∠CEP=90°.
∴△OCE∽△CPE,
∴ .
∴ .
∴ .
点评: 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
22.阅读下面材料:
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图,图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1,他发现一个有趣的问题:对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段,都可以在点阵中找到一点构造垂直,进而求出它们相交所成锐角的正切值.
请回答:
(1)A,B,C是点阵中的三个点,请在点阵中找到点D,作出线段CD,使得CD⊥AB;
(2)线段AB与CD交于点O.为了求出∠AOD的正切值,小明在点阵中找到了点E,连接AE,恰好满足AE⊥CD于点F,再作出点阵中的其它线段,就可以构造相似三角形,经过推理和计算能够使问题得到解决.
请你帮小明计算:OC= ;tan∠AOD=5;
解决问题:
如图3,计算:tan∠AOD= .
考点: 相似形综合题.
分析: (1)用三角板过C作AB的垂线,从而找到D的位置;
(2)连接AC、DB、AD、DE.由△ACO∽△DBO求得CO的长,由等腰直角三角形的性质可以求出AF,DF的长,从而求出OF的长,在Rt△AFO中,根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值;
(3)如图,连接AE、BF,则AF= ,AB= ,由△AOE∽△BOF,可以求出AO= ,在Rt△AOF中,可以求出OF= ,故可求得tan∠AOD.
解答: 解:(1)如图所示:
线段CD即为所求.
(2)如图2所示连接AC、DB、AD.
∵AD=DE=2,
∴AE=2 .
∵CD⊥
AE,
∴DF=AF= .
∵AC∥BD,
∴△ACO∽△DBO.
∴CO:DO=2:3.
∴CO= .
∴DO= .
∴OF= .
tan∠AOD= .
(3)如图3所示:
根据图形可知:BF=2,AE=5.
由勾股定理可知:AF= = ,AB= = .
∵FB∥AE,
∴△AOE∽△BOF.
∴AO:OB=AE:FB=5:2.
∴AO= .
在Rt△AOF中,OF= = .
∴tan∠AOD= .
点评: 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义,根据点阵图构造相似三角形是解题的关键.
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接下来是读文网小编为大家带来的初三年级上册数学知识点归纳总结,供大家参考。
第五章 方程(组)
★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)
☆ 内容提要☆
一、 基本概念
1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)
2. 分类:
二、 解方程的依据-等式性质
1.a=b←→a+c=b+c
2.a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 解法
1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→
系数化成1→解。
2. 元一次方程组的解法:⑴基本思想:"消元"⑵方法:①代入法
②加减法
四、 一元二次方程
1.定义及一般形式:
2.解法:⑴直接开平方法(注意特征)
⑵配方法(注意步骤-推倒求根公式)
⑶公式法:
⑷因式分解法(特征:左边=0)
3.根的判别式:
4.根与系数顶的关系:
逆定理:若 ,则以 为根的一元二次方程是: 。
5.常用等式:
五、 可化为一元二次方程的方程
1.分式方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①去分母法②换元法(如, )
⑷验根及方法
2.无理方程
⑴定义
⑵基本思想:
⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例, )⑷验根及方法
3.简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、 列方程(组)解应用题
一概述
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什
么。
⑵设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
1. 行程问题(匀速运动)
基本关系:s=vt
⑴相遇问题(同时出发):
⑵追及问题(同时出发):
若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则
⑶水中航行: ;
2. 配料问题:溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
3.增长率问题:
4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位"1")。
5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。
三注意语言与解析式的互化
如,"多"、"少"、"增加了"、"增加为(到)"、"同时"、"扩大为(到)"、"扩大了"、……
又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a+10b+c,而不是abc。
四注意从语言叙述中写出相等关系。
如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如,x与y的差为3,则x-y=3。五注意单位换算
如,"小时""分钟"的换算;s、v、t单位的一致等。
七、应用举例(略)
第六章 一元一次不等式(组)
★重点★一元一次不等式的性质、解法
☆ 内容提要☆
1. 定义:a>b、a
2. 一元一次不等式:ax>b、ax
3. 一元一次不等式组:
4. 不等式的性质:⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac
⑷(传递性)a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集)
7.应用举例(略)
第七章 相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套(比例的有关性质):
涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。
第二套:
注意:①定理中"对应"二字的含义;
②平行→相似(比例线段)→平行。
二、相似三角形性质
1.对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证(解)题规律、辅助线
1."等积"变"比例","比例"找"相似"。
2.找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来
3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4.对比例问题,常用处理方法是将"一份"看着k;对于等比问题,常用处理办法是设"公比"为k。
5.对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形(或基本图形)"抽"出来的办法处理。
五、 应用举例(略)
第八章 函数及其图象
★重点★正、反比例函数,一次、二次函数的图象和性质。
☆ 内容提要☆
一、平面直角坐标系
1.各象限内点的坐标的特点
2.坐标轴上点的坐标的特点
3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1.表示方法:⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2.确定自变量取值范围的原则:⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有
意义。
3.画函数图象:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数
(定义→图象→性质)
1. 正比例函数
⑴定义:y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象:直线(过原点)
⑶性质:①k>0,…②k<0,…
2. 一次函数
⑴定义:y=kx+b(k≠0)
⑵图象:直线过点(0,b)-与y轴的交点和(-b/k,0)-与x轴的交点。
⑶性质:①k>0,…②k<0,…
⑷图象的四种情况:
3. 二次函数
⑴定义: 特殊地, 都是二次函数。
⑵图象:抛物线(用描点法画出:先确定顶点、对称轴、开口方向,再对称地描点)。 用配方法变为,则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。
⑶性质:a>0时,在对称轴左侧…,右侧…;a<0时,在对称轴左侧…,右侧…。
4.反比例函数
⑴定义: 或xy=k(k≠0)。
⑵图象:双曲线(两支)-用描点法画出。
⑶性质:①k>0时,图象位于…,y随x…;②k<0时,图象位于…,y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
1.用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。对求二次函数的解析式,要合理选用一般式或顶点式,并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点,寻找新的点的坐标。如下图:
2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
六、应用举例(略)
第九章 解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆ 内容提要☆
一、三角函数
1.定义:在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
2. 特殊角的三角函数值:
0° 30° 45° 60° 90°
sinα
cosα
tgα /
ctgα /
3. 互余两角的三角函数关系:sin(90°-α)=cosα;…
4. 三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
二、解直角三角形
1. 定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
2. 依据:①边的关系:
②角的关系:A+B=90°
③边角关系:三角函数的定义。
注意:尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1. 俯、仰角: 2.方位角、象限角: 3.坡度:
4.在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的办法解决。
四、应用举例(略)
第十章 圆
★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆ 内容提要☆
一、圆的基本性质
1.圆的定义(两种)
2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3."三点定圆"定理
4.垂径定理及其推论
5."等对等"定理及其推论
5. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理)
⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质:
2.切线的性质(重点)
3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4.切线长定理
三、圆换圆的位置关系
1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切)
2.相切(交)两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算
中心角:
内角的一半: (右图)
(解Rt△OAM可求出相关元素, 、 等)
六、 一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、 点的轨迹
六条基本轨迹
八、 有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周:4、8;6、3等分
九、 基本图形
十、 重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连
5.两圆相切公切线(连心线)
6.两圆相交公共弦
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一、选择题(每题2分,共12分)
1.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
2.AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠A=40 °,则∠B的度数为( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
3.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为( )
A.(x+1)2=6
B.(x+2)2=9
C.(x﹣1)2=6
D.(x﹣2)2=9
4.下列说法:①直径不是弦;②相等的弦所对的弧相等;③三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点;④三角形的外心到三角形各边的距离相等.其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2010年投入2000万元,预计到2012年共投入8000万元.设教育经费的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是( )
A.2000(1+x)2=8000
B.2000(1+x)+2000(1+x)2 =8000
C.2000x2=8000
D.2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=8000
二.填空题(每题2分,共20分)
7.一元二次方程x2=3x的解是:__________.
8.若实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根,则2a2﹣4a+5=__________.
9.一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1、x2,则x1+x2﹣x1•x2=__________.
10.小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞,只知道该三角形有两边长分别为1cm和2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖,那么这个圆布的直径最小应等于__________.
11.写出一个以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程__________.
12.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根,则k的取值范围是__________.
三、解答题(共11题,共88分)
17.解方程:
(1)2x2﹣5x+2=0.
(2)2(x+3)2=x+3.
18.(1)化简:( )2+|1﹣ |﹣( )﹣1
(2)解不等式组: .
19.计算或化简:
(1) ﹣ + ;
(2)先化简( ﹣ )÷ ,然后从 ,0,1,﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
20.在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点A、B、C.
(1)请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标__________;
(2)⊙O的半径为__________(结果保留根号 );
(3)求 的长(结果保留π).
21.已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5,求方程的另一根及m的值.
22.AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
23.把长为40cm,宽30cm的长方形硬纸板,剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分),将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为xcm(纸板的厚度忽略不计)
(1)长方体盒子的长、宽、高分别为多少?(单位:cm)
(2)若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2,求此时长方体盒子的体积.
24.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°.
(1)求作⊙O,使:圆心O在AB上,且⊙O经过点A和点C(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由.
25.某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
26.已知,AB、AC是⊙O得切线,B、C是切点,过 上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E
(1)连接OD和OE,若∠A=50°,求∠DOE的度数.
(2)若AB=7,求△ADE的周长.
27.配方法不仅可以用来解一元二次方程,
,还可以用来解决很多问题.
例如:因为3a2≥0,所以3a2﹣1≥﹣1,即:3a2﹣1就有最小值﹣1.只有当a=0时, 才能得到这个式子的最小值﹣1.同样,因为﹣3a2≤0.所以﹣3a2+1≤1,即:﹣3a2+1就有最大值1,只有当a=0时,才能得到这个式子的最大值1.
(1)当x=__________时,代数式﹣2(x+1)2﹣1有最__________值(填“大”或“小”值为__________.
(2)当x=__________时,代数式 2 x2+4x+1有最__________值(填“大”或“小”)值为__________.
(3)矩形自行车场地ABCD一边靠墙(墙长10m),在AB和BC边各开一个1米宽的小门(不用木板),现有能围成14m长的木板,当AD长为多少时,自行车场地的面积最大?最大面积是多少?
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1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C
9.4 10.4或-5 11.130 12.1∶2 13.-4
14.∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB,AC∶AB=AD∶AC等 15.2 16.②③
17.(1)x1=5或x2= .
(2)x1=3,x2=-1.
18.(1)∵b2-4ac=k2-4×2×(-1)=k2+8,无论k取何值,k2≥0,
∴k2+8>0,即b2-4ac>0.
∴方程2x2+kx-1=0有两个不相等的实数根;
(2)令原方程的另一个根为x2,则
解得
即另一个根为 ,k的值是1.
19.(1)400;
(2)“一定不会”的人数为400×25%=100(名),
“家长陪同时会”的百分率为1-25%-12.5%-5%=57.5%,图略.
(3)根据题意得:2 000×5%=100(人).
答:该校2 000名学生中大约有100人“一定会下河游泳”.
20.过点A作AD⊥BC于D,根据题意得∠ABC=30°,∠ACD=60°,
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°,∴CA=CB.
∵CB=50×2=100(海里),∴CA=100(海里),
在直角△ADC中,∠ACD=60°,∴CD= AC= ×100=50(海里).
故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近.
21.(1)由A(-2,0),得OA=2.
∵点B(2,n)在第一象限内,S△AOB=4,
∴ OA•n=4,∴n=4,
∴点B的坐标是(2,4).
设该反比例函数的解析式为y= (a≠0),
将点B的坐标代入,得4= ,∴a=8.
∴反比例函数的解析式为y= .
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),将点A,B的坐标分别代入,得
解得 .
∴直线AB的解析式为y=x+2;
(2)在y=x+2中,令x=0,得y=2.
∴点C的坐标是(0,2),∴OC=2.
∴S△OCB= OC×2= ×2×2=2.
22.(1)∵ = ,即 ,
又∠A=∠D=90°,∴△ABE∽△DEF;
(2)∵∠D=∠FCG=90°,∠DFE=∠CFG,
∴△DEF∽△CGF,∴ = ,
∴CG=3DE=3× =6,
∴BG=BC+CG=4+6=10.
23.(1)依题意可知:AB= m,则
•x=40.解得x1=20,x2=4.
∵墙可利用的最大长度为15 m,∴x1=20舍去.
答:BC的长为4 m;
(2)不能围成花圃.理由:
依题意可知: •x=50,即x2-24x+150=0.
∵△=576-4×1×150=-24<0,
∴方程无实数根.
即不能围成花圃.
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学习是一个循序渐进的过程,也是一个不断积累不断创新的过程。接下来是读文网小编为大家带来的2016初三年级数学知识点归纳,供大家参考。
1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义
2 垂直于弦的直径
圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;
垂直于弦的直径平分弦,并且平方弦所对的两条弧;
平分弦的直径垂直弦,并且平分弦所对的两条弧。
3 弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
4 圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径。
5 点和圆的位置关系
点在圆外
点在圆上 d=r
点在圆内 d
定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆,外接圆的圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。
6直线和圆的位置关系
相交 d
相切 d=r
相离 d>r
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径;
切线的判定定理:经过圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆:和三角形各边都相切的圆为它的内切圆,圆心是三角形的三条角平分线的交点,为三角形的内心。
7 圆和圆的位置关系
外离 d>R+r
外切 d=R+r
相交 R-r
内切 d=R-r
内含 d
8 正多边形和圆
正多边形的中心:外接圆的圆心
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心角:没边所对的圆心角
正多边形的边心距:中心到一边的距离
9 弧长和扇形面积
弧长
扇形面积:
10 圆锥的侧面积和全面积
侧面积:
全面积
11 (附加)相交弦定理、切割线定理
第五章 概率初步
1 概率意义:在大量重复试验中,事件A发生的频率 稳定在某个常数p附近,则常数p叫做事件A的概率。
2 用列举法求概率
一般的,在一次试验中,有n中可能的结果,并且它们发生的概率相等,事件A包含其中的m中结果,那么事件A发生的概率就是p(A)=
3 用频率去估计概率
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初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。接下来是读文网小编为大家带来的2016初三数学期中试卷分析,供大家参考。
1、知识点考查全面。让题型为知识点服务,而不是本末倒置,一味的求奇求趣。对基本知识和基本技能的考查,由证明(二)、证明(三)到一元二次方程,到视图与投影,每一个知识点无不被囊括其中,真正做到了全面出击;
2、注重数学思想方法和动手能力的考查。卷中多次出现了翻折(填空第9题,解答题第24题)、拼图(解答题第21题)、动点问题(填空第10题)、分段收费(解答题第23题)等等,无一不反映了出卷者对重要的数学思想理念、数学思想方法的理解和感悟;特别是填空第4题,又小又到位,对因式分解法做了更进一步的考查;
3、加强了课程改革内容的考查。卷中在填空、选择以及第三大题里反复考查了视图与投影知识,考查分数达到了20分,比重明显加大;
4、逻辑推理回归自然。数学在走过了万水千山之后,终于回归自然,恢复了它本身的独特,这不仅让人有些感慨:数学在追求完美的过程中是否曾经丧失了自我?整张试卷共考查了两道证明题,第20题实现了等腰三角形性质和判定使用的完美结合,同时对全等三角形的判定易错点进行了考查;第22题考查四边形问题,但出卷者能反弹琵琶,把平行作为结论来证,既避开了思维定势,又引导学生严密地论证问题,对学生的基本推理能力做了全面细致的考查,让我们重新拾回了数学的原始风情,领略了数学之美。
但美中不足的是,该套试卷居然抄袭了18分的原题,而且一字不动,连数据也一模一样,这给本来公平的考试蒙上了不公平的阴影;最主要的是它给了应试者可以猜题的误导。另外,整张试卷的层次不是特别分明,有平均着墨的嫌疑,缺少区分度。
二、各题得分情况分析
我校共有12个班级,664名学生参考,校平均:77.4,合格率:81.8,优秀率:50.5,各项指标都走到了历史的低谷。但各班之间差距不大,其中班级最高平均分:79.89,最低平均分:74.31,差距5.58分;合格率最高为:86.79最低为:75,相差10.21,优秀率最高为:53.57,最低为37,差距15.43,在这次考试中,师生投入了较大的精力,学生的潜力已充分挖掘,若要取得更进一步的成绩,则需付出更多的人力、物力、和精力。下面是我们的一些统计数据:(数据来源:三(4)、三(5)班,人数:110)
分数段0—4040—6060—7575—8585—9595—100人数51121193222百分率4.5℅10℅19.1℅17.3℅29.1℅20℅从以上数据来看,我们学校的补差工作已经取得了可喜的成绩,但后备力量明显不足,其中60——75这个分数段的学生太多,他们在考试中还属于危险分子,倘若我们能把这一部分学生的潜力挖掘出来,那后面的差生将失去市场,学校成绩将会有一个大幅度提高。各题得分情况统计(单位:℅)题号123456789101112得分率92.681.583.442.5994.962.9696.370.3770.3742.5996.368.52题号131415161718192021222324得分率81.4892.5992.4996.393.796.387.9638.8983.761.4252.3174.8
从以上统计数据可以发现,我们的学生在逻辑推理方面相当欠缺,在问题的实际应用方面还没有完全开窍,至于动手操作方面,学生虽然具备了一定的意识,但仍然是今后教学努力的重点。
三、典型错题分析
1、填空题的错误主要集中在第4和第10两小题上,第4题用已有知识解决陌生问题,考题的立意非常好,但中下等学生的能力没达到,导致失分;第10小题,把动点和平行四边形巧妙的结合起来,既考查了学生的运动观点,又考查了学生对平行四边形判定的掌握情况,属于基础题,但部分学生由于审题不清,错把P点的运动时间当作Q点的运动时间,致使
失分严重;另外,填空第6涉及到作图后使用相似、第8是个结论开放性问题,第9是图形变换问题,这几题的失分仅次于第4和第10题;
2、选择第12、13错误较多,反映了学生对概念理解的不到位,特别是对文字语言叙述的选项存在较大的恐惧心理;
3、第20、22两道证明题,学生失分情况比预计的严重,特别是语言的严密性,解答的规范性,以及合理使用条件的能力,在学生身上都体现得较差,学生的证明有点象他们在家里的处世方法:要风得风,要雨得雨,需要什么条件就拿来为我所用,而不顾及题目本身的要求;
4、第23题的第一空,很多同学把10也加上去,导致错误;第2小问有的同学看不懂表格而列错方程或验根错误,考查形式比直接列方程解应用题要好。但由于是原题,有的班级在考前讲到了,导致学生之间差距较大。
四、今后努力的几个方向
1、坚持能力培养的方向不变。学生的能力是他们今后立身社会的根本,在数学教学中对学生进行各种能力的培养一方面是我们不可推卸的责任,另一方面我们也看到了它的可操作性,比如试卷第21题拼图,第24题翻折,第19题视图等等,学生完成的情况较好,说明我们课改下的学生在识图,动手操作,空间想象等方面的能力已经得到了明显提高,只要我们能够静下心来,真心实意的投入到课改当中,相信我们的学生在将来会有更强的生存能力和竞争优势;
2、坚持语言训练的方向不变。此次考试暴露了学生在审题(如第10、23题),以及概念的理解,解题的规范性方面的许多问题(比如第12、20、22题)。产生这种结果的最根本原因就在于学生的语言理解存在很大的不足,从文字语言到数学语言,并没有在学生身上实现成功的过渡,他们做题目,但轻视对语言的理解和掌握,因此,语言训练也是我们今后努力的一个重点;
3、重视数学思想方法的渗透。数学教学重在实,而不是多,数学题目千变万化,但核心的数学思想却只有分类、数形结合、图形变换,图形构造,方程的思想等等,抓住了数学思想方法,等于是扼住了数学教学的咽喉,掌握了数学教学的命脉,当然会事半功倍;
4、坚持从最后一名学生抓起。我们学校的补差工作落到了实处,这增强了许多学生学习数学的信心,今后我们还要更多地转化后进生,特别是做好他们的思想工作,亲近他们,关心他们,让他们也体会到学习的乐趣。
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数学是其他学科的学习基础,接下来是读文网小编为大家带来的2016学年下册初三数学下册期中试卷,供大家参考。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 的倒数是( )
(A)- (B) (C)- (D)
2.下列运算错误的是( )
(A)-(a-b)=-a+b (B)a2•a3=a6 (C)a 2-2ab+b2=(a-b)2 (D)3a-2a=a
3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
4.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为x=1,它与x轴的一个交点的坐标为(-3,0),
则它与x轴另一个交点的坐标为( )
(A)(-2,0) (B)(-1,0) (C)(2,0) (D)(5,0)
5、如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的,这个几何体的俯视图是( )
(A)(B)(C)(D)
6.如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD交于点O,点E在
AB边上,点F在CD边上,EF经过点O,若图中两阴影部
分面积和为1,则四边形ABCD面积为( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
7.若反比例函数y= 的图象经过点(-1,2),则它一定不经过下列四个点中的( )
(A)(2,1) (B)(1,-2) (C)(2,-l) (D)(-2,1)
8.在Rt△ABC中,若∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA的值为( )
(A) (B) (C) (D)
9.在1,2,3,4四个数中任取两个数相加等于5概率为( )
(A) (B) (C) (D)
10.大客车从甲地开往乙地,出租车从乙地开往甲地,
两车同时出发,它们离甲地的距离y(千米)与客车
行驶的时间x(小时)之间的函数关系图象如图所示,
则下列结论不正确的是( )
(A)甲、乙两地相距600km (B)客车比出租车晚4小时到达终点
(C)出发4小时,两车相遇(D)大客车的速度比出租车慢40千米/时
二.填空题:(每小题3分,共30分)
11.17800用科学记数法可表示为.
12.计算4 + =.
13.因式分解4m2-8mn+4n2=.
14.不等式组 的解集为.
15.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′,此时BC与B′C′交于点P,则∠B′PC的度数为.
16.某公司2月份的利润为160万元,4月份的利润为250万元,则平均每月增长%.
17.一个圆锥的底面半径为3,母线长为4,则这个圆锥的侧面积为.
18.PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上
(不与点A、B重合),若∠P=70°,则∠ACB的度数是.
19 .如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,将该矩形沿直线DE折叠,点A恰好落在BC边的点F处.若AE=5,BF=3,则AD边的长是____________.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,点E、F分别在AB和AC上,CE与BF相交于点D,若AF=BE,BD∶DF=3∶4,则ED∶CD =____________.
三、解答题(共60分,其中21~24题各6分,25、26题各8分。27、28题各10分)
21.(本题6分)
先化简,再求代数式 ÷( -a-2)的值,其中a=tan60°- 6sin30°.
22.(本题6分)
如图,在10×6的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上.
(1)在图中以AB为一腰作等腰三角形ABC,使得△ABC一个顶角为钝角,点C在小正方形顶点上.
(2)直接写出△ABC的周长
23.(本题6分)
如图平面直角坐标系中,第一象限内的P点在直线y= x+1上,过P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B、A,若四边形AOBP的周长为8,反比例函数y= (k≠0)经过P点,
(1) 求P点坐标
(2) 求反比例函数y= (k≠0)的解析式
24、(本题6分)
随机调查了某小区内若干名居民的年龄,将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图:请根据以上不完整的统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)求出扇形统计图中a、b的值并补全条形统计图.
(2)若该小区年龄在15~59岁居民约有5100人,请估计年龄在60岁以上的居民人数.
25.(本题8分)
如图,等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于D,交AC于F,过D作AC的垂线交AC于E,
(1) 求证:DE是⊙O的切线;
(2) 若CD= ,AF=1,求⊙O的半径
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想要学好数学,一定要多做练习,接下来是读文网小编为大家带来的春季学期初三数学下册期中考试卷,供大家参考。
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30 分。在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,)
1.﹣3的绝对值是 ( )
A.﹣3 B.3 C.-13 D.13
2.二次根式x−1中字母x的取值范围是 ( )
A.x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
3.未来三年,国家将投入8450亿元用于缓解群众“看 病难、看病 贵”的问题.将8450亿元用科学记数法表示为 ( )
A.0.845×104亿元 B.8.45×103亿元 C.8.45×104亿元 D.84.5×102亿元
4.方程2x﹣1=3的解是 ( )
A.x=2 B.x=0.5 C.x=1 D.x= −1
5.在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m 与y=mx (m≠0)的图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
6.下列命题:
①平行四边形的对边相等; ②正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形;
③对角线相等的四边形是矩形; ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图,已知△ABC的三个 顶点均在格点上,则cosA的值为 ( )
A. 133 B. 155 C.255 D. 233
8.如图,一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后,得到一个内角和为2340°的新多边形,则原多边形的边数为 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
第7题 第8题 第9题
9.过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面,形成如图几何体,其正确展开图为( )
A. B. C. D.
10.已知一次函数 y=2x−4的图像与x 轴、y轴分别相交于点A、B,点P在该函数图像上, P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2,若d1+d2=m,当m为何值时,符合条件点P有且只有两个( )
(A)m>2 (B) 2
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分。)
11.分解因式:x2y﹣y= _____________
12.方程4x−12x−2 =3的解是x=_____________
13.将一次函数y=3x+1的图象沿y轴向上平移2个单位后,得到的图象对应的函数与x轴的交点坐标为_____________
14. 如图,菱形中,对角线AC、BD交于点O,E为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于 _____________
15.如图,在平面直角坐标系中,直线y =-x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点. 若直线y=−x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点,求b的取值范围是 ;
16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,以点A为圆心,AB长为半径画圆弧交边DC于点E,则弧BE的长度为 _____________
17.设△ABC的面积为9,如图将边BC、AC分别3等份,BE1、AD1相交于点O,则△AOB的面积为 _____________
18.如右图,四边形ABCD是以AC所在直线为对称轴的轴对称图形,∠B=90°,∠BAD=40°,AC=3,点E,F分别为线段AB、AD上的动点(不含端点),则EF+CF长度的最小值为
三、解答题(本大题共10小题,共84分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算:⑴计算: ﹣|﹣3|﹣(﹣π)0+2015; ⑵
20.⑴解方程: x2﹣4x﹣5=0 ⑵解不等式组:_____________
21. 如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF.
(1) 求证:CF=AD;
(2) 若CA=CB,∠ACB=90°,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由.
22. 如图,AB为⊙O的切线,切点为B,连接AO,AO与⊙O交于点C,BD为⊙O的直径,连接CD.若点C为AO的中点,⑴求∠A的度数;⑵若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
23. 初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍,某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况. 以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图:
请根据上述统计图提供的信息,完成下列问题:
(1)这次抽查的样本容量是_____________;
(2)请补全上述条形统计图和扇形统计图;
(3)若从这次接受调查的学生中,随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的百分比是多少?
24. 有三张正面分别写有数字0,1,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为a的值,然后将其放回,再从三张卡片种随机抽取一张,以其正面的数字作为b的值,
⑴求点(a,b)在第一象限的概率;(请画“树状图”或者“列表”等方式给出分析过程)
⑵在点(a,b)所有可能中,任取两个点,它们之间的距离为5的概率是 _____________ ;
25.如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆,B为半圆上一点,连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥ 轴于点D,交线段OB于点E,已知CD=8,抛物线经过点O、E、A三点。
(1)∠OBA= ______________ 。
(2)求抛物线的函数表达式。
(3)若P为抛物线上位于AE部分上的一个动点,以P、O、A、E为顶点的四边形的面积记为S,求点P在什么位置时? 面积S的最大值是多少?
26.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
⑴求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
⑵该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y与x的关系式;
②该商店购进A型、B型各多少台,才能使销售利润最大?
⑶实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0
27. 已知点A(3,4),点B为直线x=−1上的动点,设B(-1,y),
(1)如图①,若△ABO是等腰三角形且AO=AB时,求点B的坐标;
(2)如图②,若点C(x,0)且-1
①当x=0时,求tan∠BAC的值;
②若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α,当点C在什么位置时?tanα的值最大?
28.如图,等边△ABC边长为6,点P、Q是AC、BC边上的点,P从C向 A点以每秒1个单位运动,同时Q从B向C以每秒2个单位运动,若运动时间为t秒(0
⑴如图①,当t=2时,求证AQ=BP;
⑵如图②,当t为何值时,△CPQ的面积为3;
⑶如图③,将△CPQ沿直线PQ翻折至△C′PQ,
①点C′ 落在△ABC内部(不含△ABC的边上),确定t的取值范围 _____________
②在①的条件下,若D、E为边AB边上的三等分点,在整个运动过程中,若直线CC′与AB的交点在线段DE上,总共有多少秒?
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教师们一般都知道教学计划的编制工作是他们的重要工作职责!下面是读文网小编网络整理的北师大版初三年级上册数学教学计划以供大家学习参考。
一、学情分析
通过对上期末检测分析,发现本班学生存在很严重的两极分化。一方面是平时成绩比较突出的学生基本上掌握了学习的数学的方法和技巧,对学习数学兴趣浓厚。另一方面是相当部分学生因为各种原因,数学已经落后很远,基本丧失了学习数学的兴趣。从上个学期期末测试就可以看出来,优秀率达到了 15%,但及格率下降到 45%,特别是不及格的学生中,大部分学生的成绩在 50 分(总分为 120 分)以下。
二、指导思想
坚持贯彻党的十七大教育方针,以《初中数学新课程标准》为准绳,继续深入开展新课程教学改革。以提高学生中考成绩为出发点,注重培养学生的基础知识和基本技能,提高学生解题答题的能力。同时通过本学期的课堂教学,完成九年级上册数学教学任务。并根据实际情况,适当完成九年级下册新授教学内容。
三、教学目标
知识技能目标:掌握二次根式的概念、性质及计算;会解一元二次方程;理解旋转的基本性质;掌握圆及与圆有关的概念、性质;理解概率在生活中的应用。过程方法目标:培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力,发展学生合情推理能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力,提高知识综合应用能力。态度情感目标:进一步感受数学与日常生活密不可分的联系,同时对学生进行辩证唯物主义世界观教育。
四、教材分析
第二十一章二次根式:本章主要内容是二次根式的概念、性质、化简和有关的计算。本章重点是理解二次根式的性质,及二次根式的化简和计算。本章的难点是正确理解二次根式的性质和运算法则。
第二十二章一元二次方程:本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程,并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。本章的难点是解一元二次方程。
第二十三章旋转:本章主要是探索和理解旋转的性质,能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。本章的重点是中心对称的概念、性质与作图。本章的难点是辨认中心对称图形,按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
第二十四章圆:理解圆及有关概念,掌握弧、弦、圆心角的关系,探索点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系,探索圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特点,切线与过切点的半径之间的关系,正多边形与圆的关系……。本章内容知识点多,而且都比较复杂,是整个初中几何中最难的一个教学内容。
第二十五章概率初步:理解概率的意义及其在生活中的广泛应用。本章的重点是理解概率的意义和应用,掌握概率的计算方法。本章的难点是会用列举法求随机事件的概率。
五、教学措施
1、精心备课,设置好每个教学情境,激发学生学习兴趣和欲望。深入浅出,帮助学生理解各个知识点,突出重点,讲透难点。
2、加强对学生课后的辅导,尤其是中等生和后进生的基础知识的辅导,提高他们的解题作答能力和正确率。
3、精心组织单元测试,认真分析试卷中暴露出来的问题,并对其中大多数学生存在的问题集中进行分析与讲解,力求透彻。对于少部分学生存在的问题进行小组辅导,突破难点。
4、做好学生的思想教育工作,促进学生学习的积极性,从而提高学生的学习成绩。
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初三上册数学知识点总结归纳大全
学习,需要不断的重复重复,重复学过的知识,加深印象,其实任何科目的学习方法都是不断重复学习,下面是小编整理的初三上册数学知识点,希望能帮助到大家。
扇形周长公式
因为扇形=两条半径+弧长
若半径为R,扇形所对的圆心角为n°,那么扇形周长:
C=2R+nπR÷180
扇形面积公式
在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2,所以圆心角为n°的扇形面积
S=nπR^2÷360
▲什么是圆周率?
圆周率是一个常数,是代表圆周和直径的比例。它是一个无理数,即是一个无限不循环小数。但在日常生活中,通常都用3.14来代表圆周率去进行计算,即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算,也只取值至小数点后约20位。
▲什么是π?
π是第十六个希腊字母,本来它是和圆周率没有关系的,但大数学家欧拉在一七三六年开始,在书信和论文中都用π来代表圆周率。既然他是大数学家,所以人们也有样学样地用π来表圆周率了。但π除了表示圆周率外,也可以用来表示其他事物,在统计学中也能看到它的出现。
圆的面积 s = π × r × r
其中,π 是周围率,等于3.14
r 是圆的半径。
圆的周长计算公式为:C=2πR 。C代表圆的周长,r代表圆的半径。圆的面积公式为:S=πR2(R的平方) 。S代表圆的面积,r为圆的半径。
椭圆周长计算公式
椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
椭圆面积计算公式
椭圆面积公式: S=πab
椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
1.有关的计算:
(1)圆的周长C=2πR;(2)弧长L= ;(3)圆的面积S=πR2.
(4)扇形面积S扇形 = ;
(5)弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.(如图)
2.圆柱与圆锥的侧面展开图:
(1)圆柱的侧面积:S圆柱侧 =2πrh; (r:底面半径;h:圆柱高)
(2)圆锥的侧面积:S圆锥侧 = =πrR. (L=2πr,R是圆锥母线长;r是底面半径)
描述定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫圆心。线段OA叫做半径。
集合定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
2、圆的表示方法:以O为圆心的圆记做⊙O,读作圆O。
3、圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
4、半径:圆心与圆上任意一点所连的线段叫半径。直径:经过圆心的弦叫直径。
5、圆心角:顶点在圆心上的角叫圆心角。
6、圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫圆周角。
7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。
1、二次根式
式子)0(?aa叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号“”;被开方数a
必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
(2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
1、配方法 :所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法 :因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法 :换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理 :一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R,a=?0)根的判别式△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。
5、待定系数法: 在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法 :在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。
7、反证法: 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、等(面或体)积法: 平面(立体)几何中讲的面积(体积)公式以及由面积(体积)公式推出的与面积(体积)计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积(体积),而且用它来证明(计算)几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积(体积)关系来证明或计算几何题的方法,称为等(面或体)积法,它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明几何题,其困难在添置辅助线。等(面或体)积法的特点是把已知和未知各量用面积(体积)公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用等(面或体)积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
9、几何变换法: 在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。
几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10.客观性题的解题方法: 选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。
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初三上册数学知识点盘点大全
学习数学,首先我们必须要有一个学习计划,特别是基础越差同学,更需要一个学习计划、学习清单。下面是小编为大家整理的初三上册数学知识点,希望能帮助到大家。
1、弧、弦、圆心角
弦、弧、圆心角的关系
(1)弦、弧、圆心角之间的数学关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
(2)在数学同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。
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(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提数学条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。
2、圆周角
圆周角定理
(1)数学圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
(2)数学圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径。
(3)数学圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否则就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类。
圆内接四边形及其性质
数学圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。
3、数学运用公式法
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有:
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把数学乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。
平方差公式
1.平方差公式
(1)数学式子:a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)数学语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。
因式分解
1.因式分解时,各项如果有公因式应先提数学公因式,再进一步分解。
2.因式分解,必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
数学定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
数学二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
1.一元一次方程的解
定义:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.
把方程的解代入原方程,等式左右两边相等.
2.解一元二次方程-配方法
(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
3.解一元二次方程-公式法
(1)把x=﹣b±√b2﹣4ac/2a(b2﹣4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.
(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程无实数根);
③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
注意:用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0;②b2﹣4ac≥0.
4.解一元二次方程-因式分解法
(1)因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.
5.根的判别式
利用一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac)判断方程的根的情况.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
6.一元二次方程的应用
1)、列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数,列出方程,解所列方程求所列方程的解,检验和作答.
2)、列一元二次方程解应用题中常见问题:
(1)数字问题:个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.
(2)增长率问题:增长率=增长数量/原数量×100%.
如:若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a(1+x);
第二次增长后为a(1+x)2,即 原数×(1+增长百分率)2=后来数.
(3)形积问题:
①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的边长.
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积,以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.
③利用相似三角形的对应比例关系,列比例式,通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.
(4)运动点问题:物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹,运行的路线与其他条件会构成直角三角形,可运用直角三角形的性质列方程求解.
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1).审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.
2).设:根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
3).列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.
4).解:准确求出方程的解.
5).验:检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.
6).答:写出答案.
7.坐标与图形性质
1)、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:①到x轴的距离与纵坐标有关,到y轴的距离与横坐标有关;②距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当的符号.
2)、有图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.
3)、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.
8.一次函数的图象
(1)一次函数的图象的画法:经过两点(0,b)、(﹣,0)或(1,k+b)作直线y=kx+b.
注意:①使用两点法画一次函数的图象,不一定就选择上面的两点,而要根据具体情况,所选取的点的横、纵坐标尽量取整数,以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线(正比例函数是过原点的直线),但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,y=b分别是与y轴,x轴平行的直线,就不是一次函数的图象.
(2)一次函数图象之间的位置关系:直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.
当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移.
注意:①如果两条直线平行,则其比例系数相等;反之亦然;
②将直线平移,其规律是:上加下减,左加右减;
③两条直线相交,其交点都适合这两条直线.
9.正比例函数的图象
正比例函数的图象必过原点.当k>0时,在一三象限;当k<0时,在二四象限。
10.反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象,步骤:列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线.
(1)列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值.
(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确.
(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线.
(4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴.
11.反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=k/x图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|,且保持不变.
12.反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.
(2)判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k/x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为:
①当k1与k2同号时,正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有2个交点;
②当k1与k2异号时,正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有0个交点.
13.反比例函数综合题
(1)应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型,是解决实际问题的关键一步,培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力.在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识.
(2)数形结合类综合题
利用图象解决问题,从图上获取有用的信息,是解题的关键所在.已知点在图象上,那么点一定满足这个函数解析式,反过来如果这点满足函数的解析式,那么这个点也一定在函数图象上.还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起,是分析解决问题的一种好方法.
14.全等三角形的判定与性质
(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
(2)在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
15.勾股定理
(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.
(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有三个变形式:
a=根号下c2-b2,b=根号下c2-a2及c=根号下a2+b2.
(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.
16.菱形的性质
(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质;
②菱形的四条边都相等;
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
(3)菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式.
②菱形面积=ab.(a、b是两条对角线的长度)
17.矩形的性质
(1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有;
②角:矩形的四个角都是直角;
③边:邻边垂直;
④对角线:矩形的对角线相等;
⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.
(3)由矩形的性质,可以得到直角三角形的一个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
18.正方形的性质
(1)正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
(2)正方形的性质
①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
②正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴.
19.轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点.
2、凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
20.比例的性质
(1)比例的基本性质:组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项.
(2)常用的性质有:
21.平行线分线段成比例
(1)定理1:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
(2)定理2:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
(3)定理3:平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
22.相似三角形的判定
(1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.
(2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;
(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;
(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.
23.相似三角形的判定与性质
(1)相似三角形相似多边形的特殊情形,它沿袭相似多边形的定义,从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义;反过来,两个三角形相似也有对应角相等,对应边的比相等.
(2)三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形,判定三角形相似的方法有事可单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件方可.
24.相似三角形的应用
(1)利用影长测量物体的高度.
①测量原理:测量不能到达顶部的物体的高度,通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.
②测量方法:在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来,再计算出被测量物的长度.
(2)利用相似测量河的宽度(测量距离).①测量原理:测量不能直接到达的两点间的距离,常常构造“A”型或“X”型相似图,三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上,为了使问题简便,尽量构造直角三角形.②测量方法:通过测量便于测量的线段,利用三角形相似,对应边成比例可求出河的宽度.
(3)借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边,利用视点和盲区的知识构建相似三角形,用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.
25.简单组合体的三视图
(1)画简单组合体的三视图要循序渐进,通过仔细观察和想象,再画它的三视图.
(2)视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面,而相连的两个闭合线框常不在一个平面上.
(3)画物体的三视图的口诀为:
主、俯:长对正;
主、左:高平齐;
俯、左:宽相等.
26.平行投影
(1)物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.一般地,用光线照射物体,在某个平面(底面,墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.
(2)平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影,如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.
(3)平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的.
(4)判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的.如果光线是平行的,所得到的投影就是平行投影.
(5)正投影:在平行投影中,投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
27.中心投影
(1)中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影.
(2)中心投影的光线特点是从一点出发的投射线.物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系.
(3)判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点,如果光线是相交于一点,那么所得到的投影就是中心投影.
28.扇形统计图
(1)扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的面积表示总数(单位1),用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数.
(2)扇形图的特点:从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系.
(3)制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数,再算出各部分圆心角的度数,公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°.②按比例取适当半径画一个圆;按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数;
④在各扇形内写上相应的名称及百分数,并用不同的标记把各扇形区分开来.
29.条形统计图
(1)定义:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来.
(2)特点:从条形图可以很容易看出数据的大小,便于比较.
(3)制作条形图的一般步骤:
①根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线.
②在水平射线上,适当分配条形的位置,确定直条的宽度和间隔.
③在与水平射线垂直的射线上,根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少.
④按照数据大小,画出长短不同的直条,并注明数量
30.列表法与树状图法
(1)当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时,我们常用列表的方式,列出所有可能的结果,再求出概率.
(2)列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.
(3)列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图.
(4)树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合,依次列出,象树的枝丫形式,最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n.
(5)当有两个元素时,可用树形图列举,也可以列表列举.
31.利用频率估计概率
(1)大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
(2)用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.
(3)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率.
④按照数据大小,画出长短不同的直条,并注明数量.
首先你要有一个学习计划
学习数学不是拿起题目就做,更不是代表你题目做得越多成绩自然就会越好。因此,学习数学,首先我们必须要有一个学习计划,特别是基础越差同学,更需要一个学习计划、学习清单。
学习计划是学习工作开展的前提,是学习活动有序进行的保障。很多同学不知道怎么去定学习计划,这里我们简单探讨一下:
1、 制定学习计划之前,要分析自己的学习特点、学习情况
每个人的学习特点、学习情况是不一样,学习计划自然不一样。我们一定要分析自己个人特点,如基础知识板块掌握情况,哪些是掌握透彻,哪些还是不熟悉等等,一定要了如指掌;在数学学习中理应用题是否过关;计算能力是否过关;课本上所有公式定义是否都记住;几何学习是否能运用各种定理证明等等各种情况,我们必须做到全面分析。
2、确定适合自己的学习目标
每个人学习情况、学习特点不一样,自然制定的学习目标不一样。制定学习目标是让我们学习有努力的方向,正确、适度的学习目标能促进我们学习的进步。光有计划没有学习目标,或学习目标过于不切实际,就象流浪汉一样漫步在街头不知所措,学习会越学越累,严重的甚至会打击自信心。如数学分数在40分左右同学,可以把下次考试目标定在45分,这样实现学习目标比较容易;若把目标定到70分甚至更高的分数,想一口气吃成胖子,这样容易遭受学习挫折。因此,确定学习目标必须要根据自己的学习特点和现状。
学习计划的制定,必须要得到实施才能实现学习目标,所以我们一定要好好执行学习计划,完成学习目标。
明知基础差,更要重视基础
你数学在60分以下,为什么?肯定书本上还有你没有掌握透彻的知识内容。知识点没有掌握,自然不会解题,更无法考到高分。对于基础差、零基础的同学,一定要老老实实的翻看课本,从头开始,一个个知识去背、去记忆、去理解,要掌握一个章节知识内容。
在掌握基础过程中,我们对于基础知识概念、公式等,在记忆基础上要去理解,看公式定理是怎么推导的,然后看书本上的例题,尤其是过程和应用典型例题,模仿基础知识概念的运用,最后在用课后习题加以训练,巩固这些基础知识内容。如二次函数解析式是由哪些系数决定的,这些系数和二次函数图像有什么样的关系;二次函数常见的解析式有哪几种等等。通过这样一小步一小步去理解,慢慢的数学基础就能掌握起来,数学成绩自然就会好起来。
题目越不会做,更需要错题本
有些基础薄弱同学觉得自己本身错的很多,建立错题本感觉整张试卷都要抄下来。正是因为我们错的越多,更要知道自己错哪里?为什么会错这么多?分析原因,找到原因,对症下药,这样才能取得进步。对于错题,首先要学会分析错误原因,找到纠正的办法,而不是又重新找一份试卷训练,这样只会让毛病更加严重。我们不能盲目做题,必须搞清楚错误原因,是知识没掌握好还是运用能力等等,这样做题才会有效。
解题及时反思总结
做题解题,我们不能做了就扔,一定要学会解题后反思。如做错的题,我们是卡住哪一个步骤,为什么答案中这道题这个步骤是这么写的,为什么会用这个公式,公式的出现是为了解决什么问题等等,这些都是需要我们好好反思总结。
反思题意,出题人的意图,题目牵扯到哪些知识内容;反思总结可以让我们得到方法,深刻理解知识技能的运用,这样自然做题就会越做越好。
初三学习过程中,容量大、方法多,对于基础不好的同学,更需要讲究方法。在注重基础的同时,又要将初三数学合理分类。其实数学学习并不难,我们只要掌握基础知识内容,学会运用,在运用过程中及时反思总结,成绩自然慢慢就会上来。
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